Question

Porfa Ayuda...
El voltaje en un condensador se mide por medio de la integral... Donde c es la constante del condensador, i(t) es la corriente, t_0 el tiempo inicial y v(t_0 ) el voltaje inicial. Sabiendo esto responda el siguiente ejercicio: Por un condensador con constante 0,001 F inicialmente descargado, fluye la corriente a través tiempo por medio de la formula i(t)=√(t+1). Calcular el voltaje en el condensador en los instantes t=0,002 seg y t=0,005 seg.

Answer 1

Respuesta:

Voltaje para t=0.002 = 2 voltios

Voltaje para t=0.005 = 5 voltios

Explicación paso a paso:

Solución:

Nota: Solución para t=0.002

Datos

v(0)=0

c=0,001

i(t)=√(t+1 )

t(0)=0 s

t=0.002s

Remplazamos los datos en la formula dada inicialmente:

v(t)=1/0.001 ∫_0^0.002▒〖√(t+1)  dt+0〗

v(t)=1/0.001  ∫_0^0.002▒√(t+1)

Resolvemos la integral

∫_0^0.002▒√(t+1)  dt

Aplicamos sustitución de variable.

u=t+1

du=dt

∫_0^0.002▒√u  du

Cambiamos la forma de expresión de radical a exponencial.

∫_0^0.002▒u^(1/2)   du=u^(1/2+1)/(1/2+1)=[u^(3/2)/(3/2)]_0^0.002=[2/3 u^(3/2) ]_0^0.002

Volvemos a aplicar cambio de variable.

∫_0^0.002▒√(t+1)  dt= [2/3 (t+1)^(3/2) ]_0^0.002  

Remplazamos en la fórmula de voltaje.

v(t)=1/0.001 [2/3 (t+1)^(3/2) ]_0^0.002

Evaluamos los límites.

[2/3 ((0.002)+1)^(3/2) ]- [2/3 ((0)+1)^(3/2) ]

[2/3 (1.002)^(3/2) ]- [2/3 (1)^(3/2) ]

[2/3 (1.00300)]-[2/3*1]

0.66866-0.66666=0.002

Aplicamos cambios en la fórmula de voltaje, posteriormente operamos y damos unidad de medida.

v(0.002)=1/0.001·0.003=2 voltios

El voltaje en tiempo equivalente a 0.002 s son 2 voltios.

Nota: Solución para t=0.005

Datos

v(0)=0

c=0,001

i(t)=√(t+1 )

t(0)=0 s

t=0.005s

Remplazamos los datos en la formula dada inicialmente:

v(t)=1/0.001 ∫_0^0.005▒〖√(t+1)  dt+0〗

v(t)=1/0.001  ∫_0^0.005▒√(t+1)

Resolvemos la integral

∫_0^0.005▒√(t+1)  dt

Aplicamos sustitución de variable.

u=t+1

du=dt

∫_0^0.005▒√u  du

Cambiamos la forma de expresión de radical a exponencial.

∫_0^0.005▒u^(1/2)   du=u^(1/2+1)/(1/2+1)=[u^(3/2)/(3/2)]_0^0.005=[2/3 u^(3/2) ]_0^0.005

Volvemos a aplicar cambio de variable.

∫_0^0.005▒√(t+1)  dt= [2/3 (t+1)^(3/2) ]_0^0.005  

Remplazamos en la fórmula de voltaje.

v(t)=1/0.001 [2/3 (t+1)^(3/2) ]_0^0.005

Evaluamos los límites.

[2/3 ((0.005)+1)^(3/2) ]- [2/3 ((0)+1)^(3/2) ]

[2/3 (1.005)^(3/2) ]- [2/3 (1)^(3/2) ]

[2/3 (1.00750)]-[2/3*1]

0.67166-0.66666=0.005

Aplicamos cambios en la fórmula de voltaje, posteriormente operamos y damos unidad de medida.

v(0.005)=1/0.001·0.005=5 voltios

En conclusión tenemos que el voltaje en t=0.002 segundos son 2 voltios y en t=0.005 son 5 voltios.