Question

En una progresion aritmetica el ultimo termino es 2+ 7√2, la razón es √2 y la suma 16+28√2. Hallar el numero de terminos

Answer 1

Veamos: 

Sabemos que an = a1 + r (n - 1) y que Sn = n/2 (a1 + an)

an = 2 + 7√2; r = √2; Sn = 16 + 28 √2; reemplazamos en las anteriores.

2 + 7 √2 = a1 + √2 (n - 1) (1)

16 + 28 √2 = n/2 (a1 + 2 + 7 √2) (2)

Despejamos a1 de (1) y reemplazamos en (2)

a1 = 2 + 7 √2 - √2 (n - 1), quedando:

16 + 28 √2 = n/2 [2 + 7 √2 - √2 (n - 1) + 2 + 7 √2]

16 + 28 √2 = n/2 [4 + 14 √2 - √2 (n - 1) ]

Quitamos paréntesis:

 16 + 28 √2 = 2 n + 7 √2 n - √2 n²/2 - √2 n/2

Armamos la ecuación de segundo grado en n

√2/2 n² - n (2 + 7 √2 + √2/2) + 16 + 28 √2 = 0

Sus raíces son n = 8; n = 2 √2 + 7; ésta última se desecha, n es entero.

Finalmente el número de términos es 8 

Resulta a1 = 2; verificamos:

an = 2 + √ (8 - 1) = 2 + 7 √2

Sn = 8/2 (2 + 2 + 7 √2) = 16 + 28 √2

Saludos Herminio