Question

Ejercicio Probar que √2 no es racional AYUDA GRACIAS

Answer 1

Se demuestra por el absurdo.

Supongamos que √2 es un racional de la forma a/b, siendo una fracción irreductible.

Elevamos al cuadrado: 2 = (a/b)²

Por lo tanto a² = 2 b²

Esta conclusión es absurda. Estamos afirmando que a² es un múltiplo entero de b²

Imposible si a/b es irreductible.

Ejemplo: 4/9 es irreductible: 16/81 también es irreductible.

Por lo tanto √2 no es racional.

Saludos.

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso:

El método que vamos a utilizar para la demostración es el de la reducción al absurdo. Este método consiste en suponer que se cumple una hipótesis, hacer operaciones verdaderas con ella y si se llega a un absurdo es que lo que habíamos supuesto era falso.

En este caso la hipótesis es que vamos a suponer que $\sqrt{2}$ es racional, o sea que existe una fracción de números enteros a/b que es igual a $\sqrt{2}$. Dicha fracción la suponemos ya lo más simplificada posible, pues si no lo estaba se simplifica y ya está.

$\frac{a}{b} =\sqrt{2}$

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad  

$\frac{a^{2} }{b^{2} } =2$

Multiplicamos por $b^{2}$ los dos miembros de la igualdad  $a^{2}=2*b^{2}$

Esta expresión nos dice que $a^{2}$ es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número. Y por tanto a es par.

Pero $a^{2}$ es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.

Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de $b^{2}$, el otro 2 tiene que estar en el $b^{2}$.

Eso quiere decir que $b^{2}$ también tiene que ser par, y por tanto b también es par.

Pero si a es par y b también, la fracción  $\frac{a}{b}$ no es irreducible, como habíamos supuesto.

Ya hemos llegado al absurdo. Teníamos una fracción irreducible $\frac{a}{b}$  cuyo numerador y denominador son pares.

Por tanto lo que habíamos supuesto era falso: NO EXISTE NINGUNA FRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS IRREDUCIBLE QUE SEA IGUAL A $\sqrt{2}$, o lo que es lo mismo $\sqrt{2}$ no es un número racional, es un NÚMERO IRRACIONAL

El número $\sqrt{2}$ en forma decimal es $\sqrt{2}$ =1,41421356237..., vemos que tiene infinitas cifras decimales no periódicas, por lo tanto se comprueba que el numero es irracional