Respuestas
Se demuestra por el absurdo.
Supongamos que √2 es un racional de la forma a/b, siendo una fracción irreductible.
Elevamos al cuadrado: 2 = (a/b)²
Por lo tanto a² = 2 b²
Esta conclusión es absurda. Estamos afirmando que a² es un múltiplo entero de b²
Imposible si a/b es irreductible.
Ejemplo: 4/9 es irreductible: 16/81 también es irreductible.
Por lo tanto √2 no es racional.
Saludos.
Respuesta:
Explicación paso a paso:
El método que vamos a utilizar para la demostración es el de la reducción al absurdo. Este método consiste en suponer que se cumple una hipótesis, hacer operaciones verdaderas con ella y si se llega a un absurdo es que lo que habíamos supuesto era falso.
En este caso la hipótesis es que vamos a suponer que es racional, o sea que existe una fracción de números enteros a/b que es igual a
. Dicha fracción la suponemos ya lo más simplificada posible, pues si no lo estaba se simplifica y ya está.
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad
Multiplicamos por los dos miembros de la igualdad
Esta expresión nos dice que es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número. Y por tanto a es par.
Pero es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.
Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de , el otro 2 tiene que estar en el
.
Eso quiere decir que también tiene que ser par, y por tanto b también es par.
Pero si a es par y b también, la fracción no es irreducible, como habíamos supuesto.
Ya hemos llegado al absurdo. Teníamos una fracción irreducible cuyo numerador y denominador son pares.
Por tanto lo que habíamos supuesto era falso: NO EXISTE NINGUNA FRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS IRREDUCIBLE QUE SEA IGUAL A , o lo que es lo mismo
no es un número racional, es un NÚMERO IRRACIONAL
El número en forma decimal es
=1,41421356237..., vemos que tiene infinitas cifras decimales no periódicas, por lo tanto se comprueba que el numero es irracional