Question

2. (Teorema de Bayes). Una prueba de laboratorio para el uso de esteroides en atletas profesionales tiene tasas de detección que figuran en la siguiente tabla:

Si la tasa de uso de esteroides entre los atletas profesionales es 1 de cada 50:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un atleta profesional elegido al azar tenga un resultado negativo para el uso de esteroides?
b. Si el atleta da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente haya estado usando esteroides?

Answer 1

La probabilidad de que un atleta de negativo es 0,9722 (es decir va a dar negativo en el 97,22% de los casos) y si da positivo hay un 64,7% de probabilidad de que haya usado esteroides ya que la probabilidad es 0,647.

Explicación paso a paso:

Para plantear el teorema de Bayes tenemos por un lado la probabilidad de que haya consumido esteroides y la probabilidad de que el test de negativo.

a) De la tabla tenemos lo siguiente siendo E el evento consumo de esteroides y N el evento test negativo:

$P(N|E)=0,1\\P(N|\bar{E})=0,99$

Y del teorema de la probabilidad total tenemos:

$P(N)=P(N|E).P(E)+P(N|\bar{E}).P(\bar{E})$

$P(N)=0,1.0,02+0,99.0,98\\\\P(N)=0,9722$

b) Si un atleta da positivo puedo aplicar el teorema de Bayes para hallar la probabilidad de que haya consumido esteroides siendo P el evento test positivo:

$P(E|P)=\frac{P(P|E).P(E)}{P(P)}$

A su vez es:

$P(P)=P(P|E).P(E)+P(P|\bar{E}).P(\bar{E})=0,9.0,02+0,01.0,98=0,0278$

Y la expresión de Bayes queda:

$P(E|P)=\frac{0,9.0,02}{0,0278}\\\\P(E|P)=0,647$