2. (Teorema de Bayes). Una prueba de laboratorio para el uso de esteroides en atletas profesionales tiene tasas de detección que figuran en la siguiente tabla:
Uso de esteroide Resultado del Test
+ -
SI 0,9 0,1
NO 0,01 0,99
Si la tasa de uso de esteroides entre los atletas profesionales es 1 de cada 50:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un atleta profesional elegido al azar tenga un resultado negativo para el uso de esteroides?
b. Si el atleta da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente haya estado usando esteroides?
Respuestas
La probabilidad de que un atleta tenga un resultado negativo es 0.9722 si da positivo, la probabilidad de que use esteroides es: 0.647482
El teorema de Bayes: nos da la probabilidad de un evento dado otro como
P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
⇒P(B) = P(A∩B)/P(A|B)
⇒ P(A∩B) = P(A|B)*P(B)
Sean los evento:
A: Consume esteroides
B: el resultado es negativo
Por probabilidad tenemos:
P(B) = P(A∩B) + P(A'∩B)
Usando el teorema de Bayes:
P(B) = P(B|A)*P(A) + P(B|A')*P(A') (***)
De la tabla dada:
P(B|A) = 0.1
P(B|A') = 0.99
La tasa de uso de esteoroides: es 1 de cada 50, entonces la probabilidad de que use esteroides es:
P(A) = 1/50 = 0.02
La probabilidad de que no use enteroides
P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.02 = 0.98
Usamos la ecuación (***):
P(B) = 0.1*0.02 + 0.99*0.98 = 0.9722
Si el atleta da positivo: cual es la probabilidad de que use esteroide
P(A|B') = P(A∩B')/P(B')
P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.9702 = 0.0278
De la tabla obtenemos que:
P(B'|A) = 0.9
P(A∩B') = P(B'|A)*P(A) = 0.9*0.02 = 0.018
P(A|B') = 0.018/0.0278 = 0.647482