Question

1.- Calcule la transformada inversa de laplace de la función h(s)= 1/s(s^2+4s+6)
2.- Utilice el método transformada inversa de laplace, para encontrar la solución de la ecuación diferencial con valores iniciales y" + 4y' + 6y = 1 + e^-t , donde y(0)=0 y y'(0)= 0

Answer 1

hay que separar esa fracción para que se vea más fácil

$\frac{1}{s(s^2+4s+6)}=\frac{M}{s}+\frac{Ps+Q}{s^2+4s+6}$

$\frac{1}{6s}-\frac{2}{3(s^2+4s+6)}-\frac{s}{6(s^2+4s+6)}$

$\frac{1}{6s}-\frac{2}{3\left[(s+2)^2+\sqrt{2}^2\right]}-\frac{s}{6\left[(s+2)^2+\sqrt{2}^2\right]}$

Apliquemos la TIL

$L^{-1}\left\{\frac{1}{6s}-\frac{2}{3\left[(s+2)^2+\sqrt{2}^2\right]}-\frac{s}{6\left[(s+2)^2+\sqrt{2}^2\right]}\right\}$

Recuerda que la Transformada de Laplace es un operador lineal

$L^{-1}\left\{\frac{1}{6s}\right\}-L^{-1}\left\{\frac{2}{3\left[(s+2)^2+\sqrt{2}^2\right]}\right\}-L^{-1}\left\{\frac{s}{6\left[(s+2)^2+\sqrt{2}^2\right]}\right\}$

Pongámoslo así

$L^{-1}\left\{\frac{1}{6s}\right\}-L^{-1}\left\{\frac{1}{3\left[(s+2)^2+\sqrt{2}^2\right]}\right\}-L^{-1}\left\{\frac{s+2}{6\left[(s+2)^2+\sqrt{2}^2\right]}\right\}$

$\frac{1}{6} -\frac{1}{3}e^{2t}L^{-1}\{\frac{1}{s^2+\sqrt{2}^2}\}-\frac{1}{6}e^{2t}L^{-1}\{\frac{s}{s^2+\sqrt{2}^2}\}$

$\frac{1}{6} -\frac{1}{3}e^{2t}\cdot\frac{1}{\sqrt 2}\sin(\sqrt 2\, t) -\frac{1}{6}e^{2t}\cdot \cos (\sqrt2 \, t)$

Ahora la ecuación

y'' + 4y' + 6y = 1+e^{-t}, con las condiciones iniciales y(0) = 0, y'(0) = 0

Igualmente la Transformada de Laplace es un operador lineal

$L\{y''+4y'+6y\}=L\{1+e^{-t}\}\\ s^2L\{y\} -sy(0)-y'(0)+4sL\{y\}-4y(0)+6L\{y\}=1/s + 1/(s^2+1)\\ (s^2+4s+6)L\{y\}=1/s + 1/(s^2+1)$

$L\{y\} =\frac{1}{3}\left\{\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s^2+4s+6}\right\}$

$y =\frac{1}{3}L^{-1}\{\frac{1}{s}\}-L^{-1}\{\frac{1}{s+1}\}-L^{-1}\{\frac{1}{s^2+4s+6}\}$

$y =\frac{1}{3}-e^t-L^{-1}\{\frac{1}{(s+2)^2+\sqrt{2}^2}\}$

$y =\frac{1}{3}-e^t-e^{2t}L^{-1}\{\frac{1}{s^2+\sqrt{2}^2}\}$

$y =\frac{1}{3}-e^t-e^{2t}\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}t)$