hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto (-4,3) y cuyos focos son los puntos F1(-1,3) y F2(-1,-1)
Respuestas
Recordemos que d(F1,P) + d(F2,P) = 2a (la longitud del eje mayor)
además la distancia entre los focos es 2c = 3-(-1) = 4, entonces c=2
y por último recordemos
Casi lo olvido, el centro está (F1+F2) / 2 = (-1,1), entonces la ecuación de la elipse es
puesto que el eje mayor es paralelo al eje Y
La ecuación de la elipse que pasa por el punto ( -4,3) con los focos indicados es :
( x +1 )²/12 + ( y -1)²/16 = 1
Para calcular la ecuación de la elipse se procede a calcular primero el valor de la distancia entre los focos , luego el centro y mediante la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a y b finalmente se calculan dichos valores y se escribe la ecuación de la elipse, de la siguiente manera :
Ec elipse =?
Pasa por el punto ( -4,3 )
Focos : F1 ( -1, 3) y F2 = ( -1,-1)
fórmula de distancia entre dos puntos :
d = √(x2-x1)²+ ( y2-y1 )² dF1F2= 2c
d = √( -1-(-1))²+ ( -1-3)²
d = 4
c = 4/2 = 2
Las coordenadas del centro C (h,k) son :
Pm F1F2 = ( (x1+x2)/2 ,( y1+y2) /2 )
PmF1F2 = (( -1+(-1))/2 , ( 3+(-1))/2 )
PmF1F2 = ( -1, 1) = ( h,k)
Ecuación de la elipse correspondiente :
( x-h)²/b² + ( y -k)²/a² = 1
( -4 - (-1))²/b² + ( 3 -1)²/a² = 1
9/b²+ 4/a² = 1
De la relación : a² = b²+ c²
a² = b² + 4
9/b² + 4/(b²+ 4) = 1
de donde b es igual a :
b = √12
b= 2√3
a² = (√12 )²+ 4
a² = 12 +4
a² = 16
a = √16 = 4
La ecuación de la elipse es :
( x +1 )²/12 + ( y -1)²/16 = 1
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