Question

hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto (-4,3) y cuyos focos son los puntos F1(-1,3) y F2(-1,-1)

Answer 1

Pongamos P = (-4,3)
Recordemos que d(F1,P) + d(F2,P) = 2a (la longitud del eje mayor)

$\sqrt{(-1+4)^2+(3-3)^2}+\sqrt{(-1+4)^2+(-1-3)^2}=2a\\ \sqrt{9}+\sqrt{9+16}=2a\\ a=4$

además la distancia entre los focos es 2c = 3-(-1) = 4, entonces c=2

y por último recordemos $a^2=b^2+c^2\\ 16=b^2+4\\ b=2\sqrt{3}$

Casi lo olvido, el centro está (F1+F2) / 2 = (-1,1), entonces la ecuación de la elipse es

$\frac{(x+1)^2}{12} +\frac{(y-1)^2}{16} = 1$

puesto que el eje mayor es paralelo al eje Y

Answer 2

La ecuación de la elipse que pasa por el punto ( -4,3) con los focos indicados es :  

    ( x +1 )²/12   + ( y -1)²/16 = 1

   Para calcular la ecuación de la elipse se procede a calcular primero el valor de la distancia entre los focos , luego el centro y mediante la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas  a y b finalmente se calculan dichos valores y se escribe la ecuación  de la elipse, de la siguiente manera :

Ec elipse =?

 Pasa por el punto ( -4,3 )

    Focos :    F1 ( -1, 3)   y F2 = ( -1,-1)

    fórmula de distancia entre dos puntos :

     d = √(x2-x1)²+ ( y2-y1 )²         dF1F2= 2c

     d = √( -1-(-1))²+ ( -1-3)²  

      d = 4

         c = 4/2 = 2

      Las coordenadas del centro C (h,k) son :

         Pm F1F2 = ( (x1+x2)/2 ,( y1+y2) /2 )

         PmF1F2 = (( -1+(-1))/2 , ( 3+(-1))/2 )

         PmF1F2 = ( -1, 1)  = ( h,k)

     Ecuación de la elipse correspondiente :

     ( x-h)²/b²  + ( y -k)²/a² = 1

     ( -4 - (-1))²/b²  + ( 3 -1)²/a² = 1

       9/b²+  4/a²  = 1

    De la relación  :  a² = b²+ c²

       a² = b² + 4

      9/b²  + 4/(b²+ 4)  = 1

       de donde b es igual a :

          b = √12

           b= 2√3

            a²  = (√12 )²+ 4

            a²   = 12 +4

            a²  = 16

          a = √16 = 4

     

     La ecuación de la elipse es :

        ( x +1 )²/12   + ( y -1)²/16 = 1

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