Un foco parabólico cuya fuente de luz está ubicada a 2 pies de la base y sobre su eje de simetría cuyo ancho es de 5 pies ¿ Qué tan profundo es?
Respuestas
El reflector debe tener una profundidad de ²⁵/₃₂ = 0.78125 pies
Explicación paso a paso:
Podemos a asumir que el paraboloide de revolución tiene base en el origen y que apunta hacia arriba, por lo que es generado por una parábola girando alrededor del eje y. Esta parábola tiene vértice en el origen, la fuente de luz está ubicada en el foco de la parábola y la curva pasa por los puntos (-⁵/₂, h) y (⁵/₂, h); ya que tiene un diámetro de 5 pies en un punto de altura h sobre el eje y. El valor de h es precisamente el valor de la profundidad del reflector, por tanto es la incógnita de nuestro problema.
Vamos a aplicar la ecuación canónica siguiente:
Parábola de eje vertical: (x - h)² = ±4p(y - k)
donde
(h, k) son las coordenadas del vértice.
p es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco.
En el caso que nos ocupa, el vértice es el origen, la distancia focal p es 2 y la parábola pasa por el (⁵/₂, h), entonces:
Ecuación: (x - 0)² = 4(2)(y - 0) ⇒ x² = 8y
Pasa por: x = ⁵/₂ y = h
(⁵/₂)² = 8(h) ⇒ ²⁵/₄ = 8h ⇒ h = ²⁵/₃₂ = 0.78125 pies
El reflector debe tener una profundidad de ²⁵/₃₂ = 0.78125 pies