Question

Determina el ángulo que forman la recta r y el plano L en los siguientes casos:
a.
r: (x, y, z) = (2,1,0) + k(1.-2.4)
L:x-y+3z-1=0
b.
r:{x+y-3=0
{2x+2-1=0
L:3x-z+1=0
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Answer 1

El ángulo que forma  la recta y el plano es:

a. α =80,73°

b. α =46,91°

Explicación paso a paso:

El ángulo entre un recta y un plano es aquel que se forma al proyectar dicha recta en el plano (vector normal y el vector director);

sen(α) = |n·u|/|n|·|u|

|n| = √x²+y²+z²

a. r: (x, y, z) = (2,1,0) + k(1.-2.4)

Vector director: u=(1.-2.4)

L:x-y+3z-1 =0

Vector normal: n=(1,-1,3)

sustituir;

sen(α) = |(1)(1)+(-1)(-2)+(3)(4)|/ √1²+2²+4² ·√1²+1²+3²

sen(α) = 0,9869α =, sen⁻¹( 0,9869)

α =80,73°

b.  r:{x+y-3=0  

      {2x+2z-1=0

Aplicar producto vectorial:

u = i   j  k  = (2i - 2j - 2k)

     1  1   0

     2  0 2

Vector director: u=(2.-2.-2)

L:3x-z+1=0

Vector normal: n=(3,0,-1)

sustituir;

sen(α) = |(2)(3)+(0)(-2)+(-1)(-2)|/ √2²+2²+2² ·√3²+0²+1²

sen(α) = 0,73

α =, sen⁻¹( 0,73)

α =46,91°