Question

Se tiene una progresión geométrica de
razón 1/2, determina el resultado de
dividir los términos de lugar 26 y 20.

Answer 1

Respuesta:

$\frac{1}{64}$

Explicación paso a paso:

Para resolver este ejercicio, vamos a necesitar de la siguiente fórmula:

                                                  $a_{n} =a_{1} .r^{n-1}$

Donde:

$a_{n} =$ Número de una cierta posición.

$a_{1} =$ Primer término.

$r=$ Razón de la progresión.

$n=$ Posición de un número.

Tenemos como dato:

$r=\frac{1}{2}$

Primero calculamos el término 26:

$a_{26} =a_{1} .(\frac{1}{2}) ^{26-1} \\a_{26} =a_{1} .(\frac{1}{2}) ^{25}\\a_{26} =a_{1} .(\frac{1^{25} }{2^{25} }) \\a_{26} =a_{1} .(\frac{1 }{2^{25} })$

Ahora calculamos el término 20:

$a_{20} =a_{1} .(\frac{1}{2}) ^{20-1}\\a_{20} =a_{1} .(\frac{1}{2}) ^{19}\\a_{20} =a_{1} .(\frac{1 }{2^{19} })$

Nos pide dividir los términos del lugar 26 y 20, es decir:

                                                  $\frac{a_{1} .(\frac{1}{2^{25} } )}{a_{1} .(\frac{1 }{2^{19} })}$

Eliminamos $a_{1}$ , nos quedaría:

                                                      $\frac{1}{\frac{2^{25} }{\frac{1}{2^{19} } } }$

Aquí tenemos que aplicar una propiedad llamada "Ley de la oreja o extremos y medios" que dice los siguiente:

                                                   $\frac{a}{\frac{b}{\frac{c}{d} } }=\frac{a.d}{b.c}$

Entonces, aplicando esa propiedad al ejercicio:

                                                  $\frac{1}{\frac{2^{25} }{\frac{1}{2^{19} } } }=\frac{2^{19} }{2^{25} }$

Aplicamos la siguiente propiedad: "BASES IGUALES EXPONENTES SE RESTAN"

                                                $\frac{a^m}{a^n} =a^{m-n}$

Nos quedaría:

                                               $2^{19-25} =2^{-6}$

Ahora aplicamos exponente negativo: $a^{-n} =\frac{1}{a^n}$

                                                $2^{-6} =\frac{1}{2^6}$

Finalmente efectuamos la potencia para obtener el resultado:

                                                    $\frac{1}{2^6} =\frac{1}{64}$