Question

sean m y n enteros positivos tales qué m+n=2015,m es múltiplo de 3 y n es múltiplo de 7 .halle el resto dividir 3m+7n entre 21

Answer 1

m + n = 2015
pongamos

m = 3p
n =  7q

3p + 7q = 2015
busquemos una solución particular: 

si dividimos 2015 entre 3, este nos da un cociente 671 con resto 2, es decir

2015 = 671(3) + 2
y sí buscamos un 3° + 2 que sea 7°, y el más cercano es 14 = 3(4) + 2

por ello
2015 = (671- 4 + 4)(3) + 2
2015 = (671- 4)(3)+ (4)(3) + 2
2015 = (667)(3)+ 7(2)

p = 667 & q=2

entonces una solución general es p = 7k + 667 & q = 2 - 3k, donde k es entero
o sea 
7k + 667 >0 y al mismo tiempo  2 - 3k>0

7k > -667 ==> k>-95.28...
3k < 2 ===> k < 0.66666...

k = {0,-1,-2,...,-95}

En fin
m = 3(7k + 667) = 21k + 2001
n = 7(2-3k) = 14 - 21k

entonces 
3m + 7n = (63k + 6003) + (98-147k) = -84k + 6101 = 21° + 6101

 21° + 6101 mod 21 = 6101 mod 21

o sea debemos hallar el resto de dividir 6101 entre 21

6101 = 21(290) + 11

11 es el resto buscado