Question

el producto de tres numeros es 1000 y su suma 39. Si se sabe que el primero es al segundo como el segundo es al tercero hallar la diferencia entre el mayor y el menor de los numeros

Answer 1

Respuesta:

21

Explicación paso a paso:

Sean los tres números:  a, b, c.

1ª) Su producto:  a·b·c = 1000

2ª) Su suma:  a + b + c = 39

3ª) El primero es al segundo como el segundo es al tercero: a/b = b/c

Despejamos a en la 3ª expresión:  a = b²/c

Despejamos a en la 1ª expresión:  a = 1000/bc

Igualamos ambos valores de a y despejamos b:

b²/c = 1000/bc

b²bc = 1000c

b³ = 10³

b = 10

Como al despejar en la 3ª expresión teníamos que a=b²/c, resulta a=100/c

Sustituimos los valores de a y de b en la 2ª expresión:

100/c + 10 + c = 39

100 + 10c + c² = 39c

c² - 29c + 100 = 0

Nos queda una ecuación de 2º grado en la forma ax² + bx + c = 0 donde los coeficientes son  a=1,  b=-29,  c=100 y cuyo resultado es:

$x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{29\pm \sqrt{(-29)^2-4*100}}{2}=\frac{29\pm \sqrt{841-400}}{2}=\frac{29\pm \sqrt{441}}{2}=\frac{29\pm 21}{2}$

Como en nuestra ecuación la incógnita es c, tenemos dos posibles valores

c1 = 50/2 = 25   y   c2= 8/2 = 4

En cualquier caso, siendo siempre b=10, y sabiendo de antes que a=b²/c, resultan valores intercambiables para a y para c:

Si c=25, a = 100/25 = 4

Si c=4, a = 100/4 = 25

pero al tener que cumplirse, según enunciado, que a/b = b/c los valores definitivos son:  25/10 = 10/4, es decir a=25 y c=4

Finalmente hallamos la diferencia entre el mayor y el menor:

25-4 = 21