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PROPIEDADES DE
LOS NÚMEROS COMPLEJOS
1 Introducción.
2 Propiedad transitiva
3 Propiedades de la suma
4 Propiedades de la multiplicación
5 Propiedad distributiva
6 Propiedades del conjugado
7 Propiedades del módulo
El sistema de números complejos, construido a partir de los números reales, tienen propiedades heredadas de éstos como las propiedades sobre la suma y la multiplicación.
Recuerde que dos números complejos, z1=a1+b1i y z2=a2+b2i son iguales si y sólo si son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias, a1=a2 y b1=b2.
Una idea para demostrar muchas de las propiedades sobre identidades sobre operaciones de suma y multiplicación es efectuar las operaciones de un miembro de la identidad, aplicar las propiedades de los números reales a las partes reales y a las partes imaginarias para llegar al lado derecho de la identidad. De aquí decimos que las propiedades de la suma y la multiplicación son heredadas de las propiedades de los números reales.
Pero el sistema de los números complejos no tiene todas las propiedades de los números reales, por ejemplo no se tienen propiedades de orden.
En la página se enuncian otras propiedades propias del sistema de números complejos junto con algunas pruebas.
Propiedad transitiva
Si z1=z2 y z2=z3 entonces z1=z3
Propiedades de la suma
Se define la suma de dos números complejos z1=a+bi y z2=c+di como
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
A partir de esta definición, usando las propiedades de los números reales, podemos probar que se cumplen las siguientes.
Propiedad de cierre o cerradura para la suma
Para z1,z2∈C se tiene que z1+z2∈C
Propiedad conmutativa
Para cualesquiera z1,z2∈C se cumple que
z1+z2=z2+z1
Propiedad asociativa
Para cualesquiera z1,z2,z3∈C se cumple que
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
Existencia del elemento neutro para la suma
0+0i, abreviado por 0, es el elemento neutro para la suma.
Existencia del inverso aditivo u opuesto
Todo número complejo z tiene un único inverso aditivo, denotado por −z.
Propiedades de la multiplicación
Se define el producto de dos números complejos z1=a+bi y z2=c+di como
(a+bi)⋅(c+di)=(ab−bd)+(ad+bc)i
A partir de esta definición, usando las propiedades de los números reales, podemos demostrar que se cumplen las siguientes. Las pruebas son similares a las de la suma.
Propiedad de cierre o cerradura para la multiplicación
Para z1,z2∈C se tiene que z1⋅z2∈C
Propiedad conmutativa
Para cualesquiera z1,z2∈C se cumple que
z1⋅z2=z2⋅z1
Propiedad asociativa
Para cualesquiera z1,z2,z3∈C se cumple que
(z1⋅z2)⋅z3=z1⋅(z2⋅z3)
Existencia del elemento neutro para la multiplicación
1+0i, abreviado por 1, es el elemento neutro para la multiplicación.
Existencia del inverso multiplicativo o recíproco
Todo número complejo z, dintinto de 0, tiene un único inverso multiplicativo , denotado por z−1. Leer más
Propiedad distributiva
Para cualesquiera z1,z2,z3∈C se cumple que
z1⋅(z2+z3) = z1⋅z2+z1⋅z3
Haz clic para ver la demostración
Propiedades del conjugado
El conjugado de un número complejo z=a+bi, denotado por z¯¯¯, se define como z¯¯¯=a−bi
Es claro las siguientes
El conjugado de un número real es él mismo.
El conjugado de un número imaginario puro es el opuesto del número.
A continuación otras propiedades del conjugado
El conjugado del conjugado
Para z∈C se tiene que
z¯¯¯¯¯¯=z
La suma y resta con el conjugado
Para z∈C se tiene que
z+z¯¯¯=2Re(z) y z−z¯¯¯=2Im(z)
El producto con el conjugado
Para cualesquiera z∈C, z=a+bi, se tiene que
z⋅z¯¯¯=a2+b2
El conjugado de una suma y de un producto
Para cualesquiera z1,z2∈C se cumple que
z1+z2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯+z2¯¯¯¯¯
z1⋅z2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯⋅z2¯¯¯¯¯
Propiedades del módulo
El módulo o valor absoluto de un número complejo z=a+bi, denotado por |z| , se define como
|z|=a2+b2−−−−−−√
El módulo es la raíz cuadrada de zz¯¯¯
El módulo del producto
Para cualesquiera z1,z2∈C se cumple que
|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|
Módulo es positivo o cero
|z|≥0
Módulo cero
|z|=0 si y sólo si z=0
Módulo del conjugado
|z¯¯¯|=|z|
Módulo de la parte real y de la parte imaginaria
|Re(z)|≤|z| y |Im(z)|≤|z|
Desigualdad triángular
|z1+z2|≤|z1|+|z2|
Explicación paso a paso: