Question

Ayudenme es sobre progreciones

Answer 1

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS (PG)

Como te adelantaba en los comentarios, tenemos los siguientes datos.

• Valor del primer término de la PG ... a₁ = 3  que son las tres primeras personas que se enteran del secreto.
• Razón de la PG ... r = 3  que es el número por el que vamos multiplicando el valor de cada término para obtener el siguiente.
• Nº de términos de la PG ... n = 24   puesto que pasan 12 horas desde las 8 am hasta las 8 pm y el secreto se cuenta cada media hora.

Con esos datos se usa la fórmula del término general de este tipo de progresiones que dice:  $a_n=a_1*r^{n-1}$  para calcular cuántas personas conocerán el secreto a las 8 pm. es decir, el valor del 24º término  a₂₄

Sustituyo los datos teniendo en cuenta justamente que  aₙ = a₂₄

$a_{24} =3*3^{24-1} =3^1*3^{23} =3^{24} =282.429.536.481$

Habrá que ser algo lógicos y pensar que esa cantidad de personas ni siquiera existen en el mundo ya que somos bastantes menos,  unos 7.500.000.000 (siete mil quinientos millones) y nos salen ahí más de doscientos ochenta y dos mil millones pero al margen de ello, esa sería la cantidad de personas que sabrían el secreto a las 8:00 pm.

Así pues, como ejercicio práctico tiene poco valor porque el resultado es totalmente desproporcionado pero el procedimiento es el que he usado.

Una nota añadida que quiero poner es:

Este tipo especial de progresiones geométricas donde el valor del primer término  "a₁"  (en este caso tres personas)  es igual a la razón de la progresión "r" que también es 3, se conoce también como progresiones exponenciales porque tenemos que  a₁ = r  y por tanto, sustituyendo "r" por  a₁  en la fórmula general tenemos que:

$a_n=a_1*r^{n-1}\\ \\ a_n=(a_1)^1*(a_1)^{n-1}\\ \\ a_n=(a_1)^{1+n-1$

$a_n=(a_1)^n$

Con eso queda claro que en este tipo de progresiones, calcular el valor de cualquier término se reduce a una sencilla operación de potenciación.

Es decir, por ejemplo, si quiero saber aquí cuántas personas sabrán el secreto a las 11:00 am    (en que han pasado solo 3 horas y por tanto son 6 medias horas),   tengo que el nº de términos de esa PG es = 6 y saber el valor del 6º término es tomar el valor del primer término (3) y elevarlo al exponente que representa el número de términos (6) es decir:

a₆ = 3⁶ = 729 personas conocerán el secreto a las 11:00 am.

Saludos.