Question

 Sobre un plano inclinado que tiene un ángulo α = 30°, se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 50 m/s y formando un ángulo β = 60° con la horizontal. Calcular en que punto del plano inclinado pegará.

Respuesta: 165,99 m

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Answer 1

Respuesta:

166.67m

Explicación paso a paso:

Para resolver esto necesitamos pensar que x es la distancia que recorre horizontalmente e 'y' la que recorre verticalmente, la distancia sobre el plano es por Pitágoras $x^2 + y^2$, porque es la hipotenusa del triangulo que se forma con x e y.

Por otra parte con los 30º podemos hacer una relación de tangente de la siguiente manera

$tan\alpha =\frac{y}{x}$

$tan(30\º) =\frac{y}{x}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{y}{x}$

$x=\sqrt{3}y$  ___ esta relación la usaremos mas adelante y la llamamos (Δ)

$(x)^2=(\sqrt{3}y)^2$

$x^2=3y^2$

Con eso la hipotenusa que es

$h=\sqrt{x^2 + y^2}$

se puede expresar

$h=\sqrt{3y^2 + y^2}$

$h=\sqrt{4y^2}$

$h=2y$

Ahora con la ecuación de posición del proyectil la cual es

$y = v_i*t*sin(\beta )-\frac{1}{2} *g*t^2$

$x=v_1*t*cos(\beta )$

despejamos de x, la incógnita t y reemplazamos en la ecuación 'y'

$t=\frac{x}{v_i*cos(\beta )}$

reemplazando en 'y'

$y = v_i*\frac{x}{v_i*cos(\beta )}*sin(\beta )-\frac{1}{2} *g*(\frac{x}{v_i*cos(\beta )})^2$

simplificando y usando relaciones de identidad trigonométricas

$y =x*tan(\beta) -\frac{1}{2} *g*\frac{x^2}{v_i^2*(cos(\beta ))^2}$

reemplacemos β, y supongamos $g = 10 m/s^2$, ademas $v_i=50m/s$

$y =x*tan(60\º) -\frac{1}{2} *10*\frac{x^2}{(50)^2*(cos(60\º ))^2}$

$y =x*\sqrt{3} -5*\frac{x^2}{2500*(\frac{1}{2} )^2}$

$y =x*\sqrt{3} -\frac{x^2}{500*\frac{1}{4} }$

$y =x*\sqrt{3} -\frac{x^2}{125}$

Reemplazamos la relación que llamamos Δ, y la de $x^2$ que hallamos anteriormente

$y =\sqrt{3}y *\sqrt{3} -\frac{3y^2}{125}$

$y =(\sqrt{3})^2y -\frac{3}{125}*y^2$

$0 =3y -\frac{3}{125}*y^2-y$

$2y -\frac{3}{125}*y^2=0$

$y(2 -\frac{3}{125}*y)=0$

de donde obtenemos dos soluciones una y = 0, que descartamos y la otra

$2 -\frac{3}{125}*y=0$

$-\frac{3}{125}*y=-2$

$\frac{3}{125}*y=2$

$y=\frac{125}{3}*2$

$y=\frac{250}{3}$

Ahora reemplazando en la hipotenusa tenemos

$h=2y$

$h=2*\frac{250}{3}$

$h=\frac{500}{3}$

$h=166.67$