Question

Calcular el seno y el coseno de un ángulo agudo sabiendo que su tangente vale 2.

Answer 1

Respuesta: $cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{5}$ y $sin\alpha = \sqrt{\frac{4}{5}$

Sabemos que la $tan{\alpha} = 2$ y necesitamos encontrar $sin{\alpha}$ y $cos\alpha$.

Para hacerlo, usaremos las siguientes fórmulas:

$1+tan^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$ ---> para sacar el $cos\alpha$.

$cos^2\alpha +sin^2\alpha = 1$ ---> para sacar el $sin\alpha$.

Sacamos el cos con la primera:

$1+tan^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$, como sabemos que $tan{\alpha} = 2$, sustituimos en la fórmula:

$1+2^2 = \frac{1}{cos^2\alpha}$ --> $5 = \frac{1}{cos^2\alpha}$ ----> $cos^2\alpha = \frac{1}{5}$ ---> $cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{5}$. La raíz tiene un resultado positivo y negativo, pero cogemos el positivo porque el ángulo está el el I Cuadrante (porque es agudo) y el coseno es positivo.

Ahora sacamos el sin:

$cos^2\alpha +sin^2\alpha = 1$, como sabemos que $cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{5}$, sustituimos en la fórmula:

$(\sqrt{\frac{1}{5}})^2 +sin^2\alpha = 1$ ---> $\frac{1}{5} + sin^2\alpha = 1$ ---> $sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{5}$ ---> $sin^2\alpha = \frac{4}{5}$ --->

$sin\alpha = \sqrt{\frac{4}{5}$. La raíz tiene un resultado positivo y negativo, pero cogemos el positivo porque el ángulo está el el I Cuadrante (porque es agudo) y el seno es positivo.