Question

Doy 30 puntos si me ayudan por favor

Answer 1

Es algo difícil explicar por eso solo pondré fórmulas y trataré de hacer lo mejor posible.

Regla de la cadena para funciones trigonométricas.

$\frac{d}{dx} (sen(u)) = cos(u) \frac{d}{dx} (u)$

$\frac{d}{dx} (cos(u)) = - sen(u) \frac{d}{dx} (u)$

$\frac{d}{dx} ( {u}^{n} ) = n( {u}^{n - 1} ) \frac{d}{dx} (u)$

Son las tres fórmulas que necesitas.

Resolviendo el primer inciso.

$y = sen( {x}^{4})$

Vamos a definir

$u = {x}^{4}$

Entonces

Primero derivamos "u"

$\frac{d}{dx} (u) = 4 {x}^{4 - 1}$

$\frac{d}{dx} (u) = 4 {x}^{3}$

Luego derivamos la expresión original.

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (sen(u))$

$\frac{dy}{dx} = (cos(u)) \frac{d}{dx} (u)$

Sustituimos la derivada de "u"

$\frac{dy}{dx} = (cos(u)) (4 {x}^{3} )$

Luego sustituimos "u"

$\frac{dy}{dx} = (cos( {x}^{4} )) (4 {x}^{3} )$

Podemls acomodarla para que se vea más bonita.

$\frac{dy}{dx} = 4 {x}^{3} cos( {x}^{4} )$

Resolviendo el segundo inciso

$y = cos(4 {x}^{3} )$

Definimos "u"

$u = 4 {x}^{3}$

Derivamos "u"

$\frac{d}{dx} (u) = 4(3) {x}^{3 - 1}$

$\frac{d}{dx} (u) = 12{x}^{2}$

Luego vamos a derivar la función original.

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (cos(u))$

$\frac{dy}{dx} = - sen(u) \frac{d}{dx} (u)$

Sustituímos la derivada de "u"

$\frac{dy}{dx} = - sen(u) (12 {x}^{2} )$

Sustituimos "u"

$\frac{dy}{dx} = - sen( 4{x}^{3} ) (12 {x}^{2} )$

La acomodamos para que se vea mejor.

$\frac{dy}{dx} = - 12 {x}^{2} sen( 4{x}^{3} )$

Resolviendo el tercer inciso.

${sen}^{ - 3} (3x)$

Ese es el inciso más complicado por qué usa dos veces la regla de la cadena.

Primero que nada debemos ver qué la función que más "por encima" esta es la potencia.

${sen}^{ - 3} (3x) = (sen(3x) {)}^{ - 3}$

Ahora vamos a usar la otra fórmula.

$\frac{d}{dx} ( {u}^{n} ) = n {u}^{n - 1}$

Definimos u

$u = sen(3x)$

derivamos u. (ya no explicaré cómo se hace por qué se hace igual que arriba)

$\frac{d}{dx}(u) = 3cos(3x)$

Derivamos la función original.

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (sen(3x) {)}^{ - 3}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} ( {u}^{ - 3} )$

$\frac{dy}{dx} = - 3 ( {u}^{ - 3 - 1} ) \frac{d}{dx} (u)$

$\frac{dy}{dx} = - 3 ( {u}^{ - 4} ) \frac{d}{dx} (u)$

Sustituimos la derivada de "u"

$\frac{dy}{dx} = - 3 ( {u}^{ - 4} ) (3cos(3x))$

Sustituimos u

$\frac{dy}{dx} = - 3 ( {sen(3x)}^{ - 4} ) (3cos(3x))$

Ahora acomodamos para que se vea más bonita

$\frac{dy}{dx} = - 9( {sen(3x)}^{ - 4} ) (cos(3x))$

$\frac{dy}{dx} = - 9 {sen}^{ - 4} (3x)cos(3x)$