Question

Si se cumple :
para un polinomio no constante
​

Answer 1

Explicación paso a paso:

respuesta a la pregunta 16

Answer 2

Porponemos que el polinomio tiene la forma.

P(x)=ax²+bx+c

Luego evaluamos el polinomio en "x-1"

P(x-1)=a(x-1)²+b(x-1)+c

P(x-1)=a(x²-2x+1)+bx-b+c

P(x-1)=ax²-2ax+a+bx-b+c

P(x-1)=ax²-2ax+bx+a-b+c

Luego vamos a evaluar el dato que nos dan, es decir "P(x)-P(x-1)"

P(x)-P(x-1)=ax²+bx+c-[ax²-2ax+bx+a-b+c]

P(x)-P(x-1)=ax²+bx+c-ax²+2ax-bx-a+b-c

P(x)-P(x-1)=bx+c+2ax-bx-a+b-c

P(x)-P(x-1)=2ax+c-a+b-c

P(x)-P(x-1)=2ax-a+b

Encontrado el polinomio podemos igualar

P(x)-P(x-1)=x

P(x)-P(x-1)=2ax-a+b

Igualamos.

x=2ax-a+b

Cómo tenemos igualdad de 2 polinomios, planteamos un sistema de ecuaciones a través de sus coeficientes.

(Completamos el polinomio hasta obtener el mismo grado con ceros).

0x²+1x+0=0x²+2ax+(-a+b)

Sistema de ecuaciones

1) 0=0

2) 2a=1

3) -a+b=0

Resolviendo

a=1/2

a=b=1/2

El sistema que planteamos era un sistema de 3*3 por lo que hay un parámetro libre y entonces podemos asignar a la variable "c" el valor que nosotros queramos y se cumple la igualdad.

P(x)=½x²+½x+c

P(x-1)=½(x-1)²+½(x-1)+c

P(x-1)=½(x²-2x+1)+½(x-1)+c

P(x-1)=½x²-x+½+½x-½+c

P(x-1)=½x²-½x+c

Si restamos.

P(x)-P(x-1)=½x²+½x+c-[½x²-½x+c]

P(x)-P(x-1)=½x²+½x+c-½x²+½x-c

P(x)-P(x-1)=½x²-½x²+½x+½x+c-c

P(x)-P(x-1)=0+x+0

P(x)-P(x-1)=x

Se cumple la igualdad planteada al principio.

P(x)=½x²+½x+c

P(4)=½(4)²+½(4)+c

P(4)=½(16)+½(4)+c

P(4)=8+2+c

P(4)=10+c

Luego

P(0)=½(0)²+½(0)+c

P(0)=0+0+c

P(0)=0

Restando

P(4)-P(0)=[10+c]-[0+0+c]

P(4)-P(0)=10+c-c

P(4)-P(0)=10

Respuesta

P(4)-P(0)=10

Con la hipótesis de que P(x)=ax²+bx+c