Question

Dada la parabola y = x2 - 2x + 1, determine el valor de k para que la recta y = 3x + k sea tangente a ella

Answer 1

Se sabe que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto. Debe ser igual a la pendiente de la recta dada, m = 3

y' = 2 x - 2 = 3; de modo que x = 5/2 = 2,5

Hallamos el punto de la parábola que corresponde a x = 2,5

y = 2,5² - 2 . 2,5 + 1 = 2,25

La recta tangente es entonces: y - 2,25 = 3 (x - 2,5), despejamos y:

y = 3 x - 5,25; 

Por lo tanto k = - 5,25

Adjunto gráfico 

Saludos Herminio

Answer 2

La pendiente de la recta tangente a la parábola en el punto (x,y) es

$m=y'=2x-2$
y como la pendiente que nos dan es 3, entonces

3 = 2x - 2
x = 5/2

es la abscisa del punto donde la recta es tangente, entonces nos faltaría la ordenada, ¿dónde la obtenemos? Pues en la parábola que nos dan

$y = (5/2)^2- 5 +1 = 9/4$

esa es la ordenada, ya tenemos el punto de tangencia (5/2 , 9/4), esto lo reemplazamos en la recta

9/4 = 3(5/2) + k
k = 9/4 - 15/2
k = -21/4