En un examen de 20 preguntes, s'obtenen 1,5 punts per cada resposta
correcta i es resta 1 punt per cada resposta equivocada. Si un alumne
contesta totes les preguntes i obté 12,5 punts, quantes preguntes ha
contestat correctament?
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Si, como dijimos antes, cada pregunta tiene k posibles respuestas, tenemos que la probabilidad de acertar al responder de manera aleatoria es 1/k y la probabilidad de fallar es 1-1/k. Ya tenemos todos los datos para definir la variable aleatoria ni=”nota sacada en la pregunta i”:
Definición de la variable aleatoria
Definición de la variable aleatoria "nota de la pregunta i"
Calculemos ahora la nota esperada en cada pregunta, la esperanza de la variable aleatoria ni. Esta esperanza se calcula multiplicando valor por probabilidad y sumando los resultados, por lo que:
Cálculo de la esperanza de la v. a.
Cálculo de la esperanza de la v. a. "nota de la pregunta i"
Si ahora tomamos la variable aleatoria NOTA=”nota final del examen”, está claro que estará definida como la suma de las notas de cada una de las preguntas. Y como queremos calcular la nota esperada en el examen, vamos a calcular la esperanza de esta nueva variable aleatoria (aquí usamos la linealidad de la esperanza, que nos dice que la esperanza de la suma es igual a la suma de las esperanzas). Teniendo también en cuenta que todas las variables aleatorias asociadas a la nota de cada pregunta tienen la misma esperanza (no depende de la pregunta), tenemos lo siguiente:
Cálculo de la esperanza de la v. a.
Cálculo de la esperanza de la v. a. "nota del examen"
La expresión que hemos obtenido es la nota esperada en el examen si respondemos todas las preguntas de manera aleatoria. Como queremos que esa nota esperada sea un buen 0, igualamos a cero y despejamos lo único que no conocemos, lo que nos resta cada pregunta fallada, p:
Cálculo de la penalización por pregunta fallada
Cálculo de la penalización por pregunta fallada
Por tanto, cada pregunta fallada debe restar el resultado de dividir 1 entre el número de opciones menos uno, quedando entonces la fórmula para el cálculo de la puntuación como comentábamos antes:
Las matemáticas de la fórmula de puntuación de exámenes test
¿Conocías la fórmula? ¿Y la explicación matemática de la misma? ¿Has hecho algún examen test en el que te hayan puntuado con ella? ¿Y alguno en el que las condiciones de puntuación eran otras? Cuéntanos tu experiencia en los comentarios.
Quiero agradecer a varios de mis compañeros de trabajo que el otro día sacaran este tema. La conversación que tuvimos me hizo ver que podría ser interesante escribir sobre ello.
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