Question

Valor mínimo de sumatoria.

Answer 1

                       $f(x)=\sum\limts_{i=1}^n(x-a_i)^2$
con 
$a_j\ \textless \ a_{j+1}, 1\leq j \leq n-1$

Ahora veamos si tiene puntos críticos                     

                       $f'(x)=2\sum\limts_{i=1}^n(x-a_i)$
                       $2\sum\limts_{i=1}^n(x-a_i)=0$
                       $nx-\sum\limts_{i=1}^n(a_i)=0$
                       $x=\frac{\sum\limts_{i=1}^n(a_i)}{n}$

Es el único punto crítico

(1) si  $x<\frac{\sum\limts_{i=1}^n(a_i)}{n}$ entonces $f'(x)<0$, entonces la función f es decreciente

(2) si  $x>\frac{\sum\limts_{i=1}^n(a_i)}{n}$ entonces $f'(x)>0$, entonces la función f es creciente

por lo tanto  
                   $x=\frac{\sum\limts_{i=1}^n(a_i)}{n}$ es un mínimo

Entonces deducimos:

$\min f = \left(\frac{1}{n}-2\right)\left(\sum\limits_{i=1}^n a_i\right)^2+\sum\limits_{i=1}^n a_i^2$