Question

Ayudaaaaa como se soluciona por diferencia de cuadrados.

Answer 1

Respuesta:

$\frac{2}{3}$

Explicación:

nosotros tenemos la siguiente función:

$\frac{x^4-1}{x^6-1}$

Empecemos por el numerador:

$x^4-1$

Ese termino, por diferencia de cuadrados, lo podemos reescribir como:

$(x^2-1)(x^2+1)$

Y voy a descomponer, por diferencia de cuadrados, un solo termino:

¿Por qué solo un termino y no los dos?

Ya vas a entender porqué

$(x-1)(x+1)(x^2+1)$

Así:

$x^6-1$

Y este termino también lo podemos reescribir por diferencia de cuadrados, como:

$(x^3-1)(x^3+1)$

Entonces nuestra función quedaría así:

$\frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{(x^3-1)(x^3+1)}$

Listo, entonces nuestro limite esta resuelto no?

La verdad es que no, porque nos sigue dando una indeterminación

Okey ¿pero entonces como lo resuelvo?

Lo que queremos lograr es que en el denominador tengamos algo del estilo del numerador.

Lo que quiero decir es que en el denominador nos tiene que quedar algún:

$(x-1)(x+1)$  (Así lo podemos simplificar con los del numerador)

Entonces me doy cuenta de una cosa, que el término:

$x^3+1$  o  $x^3-1$

Como ambos son cubos perfectos, recuerdo la propiedad de:

$a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)$

$a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2)$

Entonces lo reescribo como:

$(x-1)(x^2+x+1)$

Y ojo, por ahora la función estaría quedando asi :

$\frac{(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)(x^3+1)}$

Y ojo, el termino el ultimo $(x^3+1)$ tambien lo podemos descomponer como:

-(Aplica la misma regla de los cubos perfectos, solo que se le cambia el signo porque es $x^3+1$ y el otro era $x^3-1$)

$(x+1)(x^2-x+1)$

Entonces nos termina quedando un choclo de esta forma:

$\frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)}$

Entonces, te das cuenta de lo que podemos hacer?

Podemos simplificar los $(x-1)$ y $(x+1)$

Entonces nos quedaria algo asi:

$\frac{(x^2+1)}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}$

Entonces ya esta!

Reemplazamos los valores de x por 1:

$\frac{(1^2+1)}{(1^2+1+1)(1^2-1+1)}$

$\frac{2}{(3)(1)}$

$\frac{2}{3}$

Y nos queda que el limite es 2/3:

$\lim_{x \to 1}\frac{x^4-1}{x^6-1} = \frac{2}{3}$