Un comerciante puede colocar 8 cajas grandes o 10 cajas pequeñas en un embalaje para su envío, en un envío, envío un total de 96 cajas, sabiendo q hay más cajas grandes q pequeñas, cuantos embalajes envío
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haya mas pequeñas eso creo!!!!!!!!!!¡!!!!!!!
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Es una ecuación diofántica lineal, con dos incógnitas.
Sean
x=nº de embalajes con 8 cajas grandes; nº cajas grandes = 8x.
y = nº embalajes con 10 cajas pequeñas; nº cajas pequeñas = 10y.
Ambos valores de x e y deben ser enteros positivos y además 8x>10y.
Luego el planteo es: 8x+10y=96 → dividiendo por 2 para simplificar:
4x+5y=48; en este caso se ve a simple vista una solución entera, puesto que el término independiente, 48, es múltiplo de 4, coeficiente de x.
48/4=12 → 4*12+5*0=48 → x=12, y=0.
En el caso general hay métodos expeditos para calcular la primera solución, x₀, y₀ ; uno excelente, ideado por G. Tejero Saurina (años 50), puede verse en mi anterior respuesta:
Respuesta de Ricardo Ramírez a ¿Cuál es la solución para la ecuación lineal de diofantina 23x-49y = 179?
En general, si a y b son enteros no nulos, primos entre sí, y la ecuación:
ax+by=c admite la solución entera x₀, y₀, entonces la solución general es:
x = x₀-bt ; // y = y₀ + at, donde el parámetro t representa cualquier entero positivo, negativo o nulo.
Luego en este caso, será: x = 12 -5t // y = 4t.
Además deben cumplirse las desigualdades x>0, y>0, 8x>10y, esto es:
12–5t>0 ; 4t>0; 8(12–5t)>10*4t. Resolviendo este sistema de tres inecuaciones simultáneas con una sola incógnita (t),
t<12/5=2+2/5 → t ≤ 2
t>0 → t ≥ 1
t<96/80 = 1+16/80 → t ≤ 1. Entre t ≤ 2 y t ≤ 1 elegimos el mínimo → t ≤ 1.
En el sentido contrario (≥) elegimos el máximo, pero como solo hay uno, es
t ≥ 1, que junto con t ≤ 1 nos da la única solución: t=1, que corresponde a
x = 7 ; // y=4.
COMPROBACIÓN:
7 embalajes con 8 cajas grandes + 4 embalajes con 10 cajas pequeñas = 56+40=96,
y ciertamente 56>40.