Para encontrar el ancho de un río, un topógrafo establece dos puntos P y Q separados 50 metros en una de las orillas del Río; posteriormente elige un punto R en la orilla opuesta y determina la medida del ángulo QPR como 78 grados y la medida del ángulo RQP como 62 grados. Determina el ancho del Río
Respuestas
Para hallar el ancho del río utilizas la función Trigonométrica(Tangente de un angulo)
TanФ = Cateto Opuesto/Cateto Adyacente
Desarrollo del ejercicio.
Te dejo gráfica en la parte inferior para mayor comprensión del problema.
De la gráfica:
Del ΔPRO
Ф = 78°
Cateto opuesto = h = Ancho del río
Cateto adyacente = PO = x
tan78° = h/x Despejas h
x.Tan78° = h Ecuación 1
DelΔRQO
Ф = 62°
Cateto opuesto = h = Ancho del río
Cateto adyacente = QO = 50 - x
Tan62° = h/(50 - x) Despejas h
Tan62°(50 - x) = h Ecuación 2
Igualas ecuación 1 y ecuación 2
xTan78° = Tan62°(50 - x) Tan78° = 3,077 Tan62° = 1,88
3,077x = 1,88(50 - x)
3,077x = 94 - 1.88x Despejamos x
3,077x + 1,88x = 94
4,957x = 94
x = 94/4,957
x = 18,963m Reemplazas este valor en ecuación 1
x. Tan78° = h
18,963m * 3,077 = h
58,35m = h
Respuesta.
El ancho del rió es de 58,35m aproximadamente
El ancho del río mide aproximadamente 14,28 metros
En la imagen adjunta podemos ver la referencia hacia la pregunta que nos solicita la situación
Planteamiento de las ecuaciones
Según lo que nos solicita la altura que es la linea azul y la llamaremos "h", entonces según la imagen podemos plantear las ecuaciones
tg(78°) = h/x ⇒h = tg(78°)*x
tg(62°) = h/(50 - x) ⇒h = tg(62°)*(50 - x)
Solución del sistema de ecuaciones
tg(78°)*x = tg(62°)*(50 - x)
tg(78°)*x = tg(62°)*50 - tg(62°)*x
tg(78°)*x + tg(62°)*x = 50tg(62°)
x = 50tg(62°)/(tg(78°) + tg(62°))
x = 14,28 metros
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