- ¿Qué área es mayor, la de un círculo de radio 4 cm o la de un icoságono (poligono de 20 lados) de apotema 4 cm?

Respuestas

Respuesta dada por: preju

EJERCICIOS CON POLÍGONOS Y CÍRCULOS

Fíjate en la figura adjunta donde aparece las dos figuras del ejercicio.

En un círculo el área que calculamos está definida por la fórmula conocida:

$A=\pi *r^2=3,14159*4^2=50,265\ cm^2$

Vamos ahora con el área del icoságono a partir de los datos que nos dan:

En este polígono regular (también llamado isodecágono) la apotema es el segmento trazado desde el centro de la figura hasta el centro de cualquier lado.

Para hallar su área es necesario saber primero lo que mide el lado y ello se consigue teniendo en cuenta que al trazar dos radios a dos vértices consecutivos se los forma un triángulo isósceles donde la altura del mismo es la apotema del icoságono.

Dicha altura divide al polígono en 2 partes iguales que son sendos triángulos rectángulos donde la hipotenusa será uno de los lados iguales y el cateto menor será la mitad del lado, siendo la altura o apotema el cateto mayor.

Sabiendo cuánto mide el ángulo formado entre la hipotenusa y la altura de ese isósceles y usando la función tangente que relaciona los dos catetos de cualquier triángulo rectángulo, obtendremos la mitad del lado.

El icoságono regular tiene 20 vértices, 20 lados y 20 ángulos iguales así que dividiendo el ángulo completo de una circunferencia (360º) entre 20 obtengo el valor de un ángulo central.

360 ÷ 20 = 18º

Me interesa la mitad de ese ángulo: 18÷2 = 9º y del cual obtendré su tangente usando la calculadora que me dice que es igual a 0,158

Tangente de 9º = Cateto opuesto (?) ÷ Cateto adyacente (4)

$Tg.\ 9\º=0,158=\dfrac{Mitad\ del\ lado}{4} \\ \\ Mitad\ del\ lado=0,158*4=0,633\ cm.$

El lado completo mide el doble: 0,633 × 2 = 1,266 cm.

Finalmente, sabiendo el lado y la apotema del icoságono tan solo queda usar su fórmula del área que es la misma que para cualquier polígono regular donde también sabemos que el perímetro es la suma de lo que miden todos sus lados o bien multiplicar lo que mide un lado por el nº de lados que es lo que anotaré ahí:

$A=\dfrac{Per\'imetro*Apotema}{2} =\dfrac{1,266*20*4}{2} =50,64\ cm^2$

Y así queda patente que el área del icoságono es mayor que el área del círculo con los datos aportados.

Lo cual tiene toda la lógica puesto que si los 4 cm. es lo que mide la apotema del icoságono y el radio del círculo, superponiendo ese círculo sobre el icoságono se apreciaría que aquél está INSCRITO dentro este, lo que implica que los lados del icoságono son tangentes exteriores al círculo y por tanto toda la zona de unión de los 20 vértices queda fuera de dicho círculo y demuestra lo que hemos visto con números.

Saludos.

Adjuntos: