Question

|Sen(a) - Sen(b)| "menor-igual" |a - b|

Tengo que demostrar esa desigualdad, ¿cómo empiezo?

Answer 1

$\text{Empieza por}\\ |\sin x|\leq|x|\, \forall x\in \mathbb{R}\\ \text{Luego utiliza la siguiente identidad trigonom\'etrica: }\\ \sin a - \sin b = 2\sin(\frac{a-b}2)\cos(\frac{a+b}2)\\ \text{entonces:}\\ |\sin a - \sin b| = 2|\sin(\frac{a-b}2)\cos(\frac{a+b}2)|\\ |\sin a - \sin b| = 2|\sin(\frac{a-b}2)||\cos(\frac{a+b}2)|\\ |\sin a - \sin b| \leq |a-b||\cos(\frac{a+b}2)|$

$\text{Como es bien conocido: }\\ |\cos x|\leq 1 \, \forall x\in \mathbb{R}\\ \text{por ello: }\\ |\cos(\frac{a+b}2)|\leq 1\\ |a-b||\cos(\frac{a+b}2)|\leq |a-b|\\ \text{por consiguiente: }\\ |\sin a - \sin b| \leq |a-b|$