Question

El numero 365 tiene la carcteristica de ser la suma de los cuadrados de tres numeros naturales consecutivos. La suma de los cuadrados de los dos numeros naturales que siguen a los anteriores tambien es 365. Cuales son tales numeros?

Answer 1

Tienes lo siguiente:
La suma de los cuadrados de tres números naturales consecutivos es igual a 365:
Tus números naturales consecutivos son:
n
n+1
n+2

La suma de sus cuadrados es 365:
$(n)^2+(n+1)^2+(n+2)^2=365$

La suma de los cuadrados de los dos siguientes naturales también es 365:
Los siguientes dos naturales son:
n+3
n+4

La suma de sus cuadrados es 365:
$(n+3)^2+(n+4)^2=365$

Igualas las ecuaciones y resuelves:
$(n)^2+(n+1)^2+(n+2)^2=(n+3)^2+(n+4)^2 \\ (n^2)+(n^2+2n+1)+(n^2+4n+4)=(n^2+6n+9)+(n^2+8n+16)\\3n^2+6n+5=2n^2+14n+25 \\ 3n^2-2n^2+6n-14n+5-25=0 \\ n^2-8n-20=0 \\ (n+2)(n-10)=0 \\ \\ n_1=-2 \\ n_2=10$

Tomas la solución positiva porque son números naturales:
n = 10
n+1 = 11
n+2 = 12

Los otros dos son:
n+3 = 13
n+4 = 14

Saludos!

Answer 2

Los números que tiene esas características con las condiciones son:

10 y -12

Explicación paso a paso:

Datos;

• Número 365 tiene la característica de ser:
• la suma de los cuadrados de tres números naturales consecutivos.
• La suma de los cuadrados de los dos números naturales que siguen a los anteriores también es 365.

¿Cuáles son tales números?

1er condición:

x² + (x+1)² +(x+2)² = 365

x² +x² + 2x +1 +x²+4x+4 = 365

3x² + 6x + 5 = 365

3x² + 6x - 360= 0

Aplicar la resolvente;

x= -6±√{6²-4[3·(-360)]} / 2(3)

x = -6±√{36+4320} /6

x = -6±√{4356} /6

x = -6±66/6

• x = 10
• x = -12

2da condición:

(x+3)² +(x+4)² = 365