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Históricamente, el arte del cómputo (o de hacer cuentas matemáticas) se desarrolla antes incluso que la escritura.5 Los registros más antiguos de cálculos matemáticos conciernen papiros egipcios datados de aproximadamente 2,000 años a.C. que hacen referencias claras a aproximaciones para π y raíces cuadradas. La numeración con varillas , desarrollada antiguamente en China, también permite resolver problemas de este tipo, así como raíces cúbicas o n-ésimas, y resolver sistemas de ecuaciones, que llevan al cálculo de números negativos o complejos. d'Alembert en su encyclopédie (editada entre los años 1751 y 1772), los califica de raíces falsas e imaginarias, y no las acepta como resultado de un cálculo final.67
El desarrollo de las nociones elementales de aritmética y las cuatro operaciones básicas, de los sistemas de numeración, las fracciones o las proporciones, así como los problemas de álgebra elemental y las operaciones más complejas como la extracción de raíces, la potenciación, y profundizan y diversifican los instrumentos y las herramientas matemáticas: desde los ábacos y máquinas de sumar mecánicas, hasta las calculadoras analógicas.
Tras la caída del Imperio Romano de Occidente siguió un periodo, del siglo VI al XIV, oscuro para la matemática; únicamente brillaron los matemáticos del Islam y, en menor medida, algunas otras figuras, Boecio, Fibonacci, Bradwardine, Nemorario, aunque de calidad muy inferior a los griegos. Boecio era un romano de familia noble. Estudió en Atenas filosofía y matemáticas. A su regreso a Roma fue nombrado senador y sin causa aparente fue encarcelado y ejecutado en el 524 d.C. En la soledad de la cárcel escribió su obraDe consolatione philosophiae que lo haría inmortal. Antes, sin embargo, había escrito distintas obras menores sobre aritmética, geometría, música y astronomía. Eran obras elementales fáciles de entender qu fueron bastante populares en la Edad Media. Incluimos aquí un incunable de la Opera de Boecio del año 1492 donde podemos apreciar los números poligonales como n(n+1)/2 -números triangulares- y los 3n(n-1)/2 -números pentagonales-.
Pero sin duda alguna, el mayor logro matemático del siglo XVI fue la resolución por radicales de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. En cuatro mil años, desde que los babilonios descubrieran como resolver la de segundo grado, casi nada nuevo se había logrado en este campo. La historia de la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado tiene, además, todo el colorido de la época: intrigas, desafíos públicos, acusaciones de plagio. Sus protagonistas, Tartaglia y, sobre todo, Cardano, médico, matemático, filósofo, escritor y astrólogo, representan fielmente las miserias y- nació en 1499 o 1500.
Aunque hay quien asegura que Cardano no tardó ni un minuto en romper su promesa, lo cierto es que tardó 6 años en revelar la famosa fórmula, probablemente debido, en parte, a que Tartaglia no acababa de publicarla y por tanto decide incluirla en su Ars Magna (izquierda) cuya primera edición de 1570 podemos admirar en la fotografía de la derecha, abierta además por la página donde Cardano introduce los números complejos a partir de un sencillo problema geométrico que dicho en el lenguaje habitual sería el siguiente: Dado un segmento de longitud 10 unidades, dividirlo en dos partes de forma que forme un rectángulo de area igual a 40 unidades cuadradas - es fácil ver que el problema se reduce a la ecuación x2-10x+40=0, cuyas las soluciones son complejas-. Tartaglia encajó muy mal el golpe de Cardano culminando esto con un desafío en Milán en 1548 entre Ferrari, yerno de Cardano, y Tartaglia que casi termina en tragedia para Tartaglia según sostienen ciertos historiadores de la época y que terminó en un ''Empate tácito''.
A raíz de la polémica entre Cardano y Tartaglia, Rafael Bombelli, el último de los algebristas italianos del Renacimiento quien había leído el Ars Magna de Cardano a los 19 años, decidió escribir un tratado de álgebra que permitiese a cualquiera dominar el tema sin recurrir a ningún otro libro -debemos destacar que el Ars Magna de Cardano estaba escrito de manera muy poco clara-. Su obra L'Algebra, de la que presentamos un ejemplar de la segunda edición de 1579 (izquierda), contiene un tratado completo de toda el álgebra conocida en su época. En particular en su L'Algebra utiliza por primera vez los números complejos en una aplicación esencial: la resolución de la ecuación cúbica irreducible, o sea, la que tiene sus tres raíces reales; usando, como el mismo cuenta, una «idea loca» que consistía en considerar que las raíces de lo que hoy denominamos complejos conjugados tendrían que ser a su vez complejos conjugados y por tanto se podía operar con ellos formalmente aunque no existieran. !Cómo le hubiese gustado a Bombelli saber que esa ecuación es imposible de resolver por radicales sin pasar antes por el campo complejo como se demostraría dos siglos y medio después a partir de los resultados de Galois!
Para terminar este periodo de nuestra Exposición destacaremos la figura del francés François Viète, quien, junto con los algebristas italianos, es sin duda la figura cumbre del álgebra renacentista. Fue precisamente Viète quien dio el paso decisivo de distinguir simbólicamente las incógnitas de los parámetros constantes, y apuntó algo hoy habitual pero muy novedoso en aquellos tiempos: la importancia del álgebra de especies o magnitudes. Una de sus primeras obras es la que vemos aquí (izquierda). Se trata de su Canonem mathematicum de la cual se desconoce el lugar y fecha de edición -aunque es posible que sea de la primera-. Viète apuesta decididamente por las fracciones decimales aunque fue Stevin -quien nuevamente aparecerá en la sección dedicada al cálculo- quien difundió el uso de los decimales fuera del ámbito matemático.