Respuestas
Si z=a+bi, aparte de las soluciones triviales a=b=0 y a=1, b=0. El problema es relativamente mecánico de plantear:
z3=(a3−3ab2)+(3a2b−b3)i=z¯2=(a2−b2)−2abi
Esto equivale a resolver:
a(a2−3b2)=a2−b2,b(3a2−b2)=2ab
Es un poco engorroso buscar ahí soluciones, pero en el fondo también mecánico. Yo he encontrado 4 soluciones [creo que no me dejo ninguna, pero habría que ver], las dos primeras:
a1=−1−5–√4 y b1=±10−25–√−−−−−−−−√4
Y las dos últimas:
a2=−1+5–√4 y b2=±10+25–√−−−−−−−−√4
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Carlos Eugenio Thompson Pinzón
Carlos Eugenio Thompson Pinzón, Ex olímpico, aun me gustan esos temas.
Actualizado el 29/6/2018 · El autor tiene 1,2k respuestas y 980,6k vistas de respuestas
Respondido inicialmente: ¿Encuentra el numero complejo que elevado al cubo sea igual al cuadrado de su conjugado?
Cualquiera de las raíces quintas de la unidad (o 0).
Primero, sea z¯ el conjugado de z, |z¯|=|z|, y para todo n, |zn|=|z|n. Por lo tanto, si z3=z¯2, entonces |z|3=|z|2, y |z|=1 o |z|=0.
Así que z es 0 o pertenece al círculo unitario S1.
Si z∈S1, entonces z¯=z−1. (Esto se deriva de que z−1=z¯|z|2), así que la ecuación z3=z¯2, se convierte en z3=z−2, que es equivalente a z5=1.
Las respuestas son así:
0,1,ei25π,ei45π,ei65π,ei85π.