Question

Cuáles son los posibles resultados de elevar la "i" a las distintas potencias??

Answer 1

Recordemos que la unidad imaginaria se define como el número complejo i tal que i^2 = -1. Por lo tanto, tenemos los siguientes resultados:

i^0 = 1 \quad (por convención)

i^1 = i

i^2 = -1 \quad (por definición)

i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i

i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1

 

Observemos que i^5 = i^4 \cdot i = i. Por lo tanto, los valores de las potencias de i se van ciclando/repitiendo de cuatro en cuatro.

Recordemos que si dividimos un número n por 4, entonces obtenemos un cociente q y un residuo r (donde 0 \leq r < 4), de manera que n se puede escribir como

 

n = 4 \cdot q + r

 De esta manera, para calcular i^n hacemos:

\displaystyile i^n = i^{4\cdot q + r} = \left( i^{4}\right)^q \cdot i^r = \left( 1 \right)^q \cdot i^r = i^r

 

Es decir, i^n = i^r donde r es el residuo de dividir n entre 4.