Question

Calcula sen β 1/2 ,cos ⁡β 1/2, tan ⁡β 1/2 dado:

cos⁡ β= -3/5, β en el cuadrante III

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

obs :

Si el coseno se encuentra en el IIIC entonces sera negativo (cumple con el dato)

luego :

cosβ = -3/5

por identidades : cosβ =2cos²(β/2) -1

ergo

2cos²(β/2) -1= -3/5

2cos²(β/2)=-3/5 + 1

2cos²(β/2)= 2/5

 cos²(β/2) = 1/5

 cos(β/2) = ± (1/√5)

obs :

si β esta entre 180°<β<270°  (representante del IIIC)

   β/2 estará entre 90°<(β/2)<135° ( este ángulo se encuentra en el IIC)

   la cual el cosФ siempre es negativo

así que :

  cos(β/2) = -(1/√5)

 luego por razones trigonométricas

$sen\beta= \cfrac{cateto \: opuesto}{hipotenusa}\\ \\ cos\beta =\cfrac{cateto \: adyacente}{hipotenusa}\\ \\ tan\beta =\cfrac{cateto \: opuesto}{cateto \: abyacente}$

identificando :

cateto adyacente = 1

hipotenusa =√5

cateto opuesto = 2  (se halla por { √5²= (C.O)²+1)

$sen(\cfrac{\beta }{2})=\cfrac{2}{\sqrt{5} }\\ \\ tan(\cfrac{\beta }{2}=\cfrac{2}{1}=2$

como el (β/2) se encuentra entre 90° y 135° el senФ siempre es positivo

y la tan(β/2) es negativo  por lo que

      tan(β/2)  = -2

obs :

IC : todas la razones  trigonometricas son positivas

IIC : senα y cscα

IIIC: tanα y cotα

IV: secα y cosα

Saludos