Question

Determine la ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas de ecuaciones y=x y x+y=1 y que contiene al punto (2,2)

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Hola

Recta  L1:   Y = x  pendiente m1=1 (coeficiente de x)

Recta  L2:   y = 1 - x = - x + 1    m2= -1

Producto de pendientes m1 . m2 = -1

L1 y L2 son perpendiculares (ortogonales)

L1 ∩  L2 :  (y = x ) ∩ (y = -x+1)

Reemplaza la ec. 1 en la ecuación 2:  x = -x + 1 => 2x=1  => x=1/2

Punto de intersección (1/2; 1/2)

La recta L2 es tangente a la circunferencia, luego (2,2) es pto de tangencia, por tanto la distancia del punto de intersección a (2,2) es el radio.

R = Raiz Cuad ( (2-1/2)² + (2-1/2)²  ) = (3√2)/2

El centro C = (h,k)

se halla como C = (2,2) + u┘. R      ( U┘=vector unitario ortogonal de L1)

U= vector direccional unitario de L1 : (1/√2  , 1/√2 )  (en general U= (1, 1/m) )

Vector ortogonal = (-1/√2  , 1/√2)

C = (2,2) + (3√2)/2.  (-1/√2  , 1/√2) = (2 , 2) + (-3 , 3) = (-1 , 5 )

Ec. circunferencia:  (x - h)² + (y - k)²  =  R²

(x - (-1) )² + (y - 5)²  =  ((3√2)/2)²

(x + 1 )² + (y - 5)²  =  18/2