Question

si f" es continua en (a,b), demuestre que:

$2\int\limits^b_a {f(x)f"(x)dx=(f(b))^2-(f(a))^2} \,$

Answer 1

Respuesta:

Correcto

Explicación:

Realizo la integral,:

$\int\limits {f(x)f'(x)} \, dx$

Uso la regla de la sustitución:

$u = f(x)$

$u' = f'(x) dx$

entonces la integral me queda

$\int\limits {u} \, du$

Y la intrgral de eso es

$\frac{u^2}{2}$

Reemplazando la u, nos quedaria asi:

$\frac{f(x)^2}{2}$

Y como es una integral definida, aplico la regla de barrow:

$\frac{f(x)^2}{2} |^b_a$

Entonces me queda:

$\frac{f(b)^2}{2}- \frac{f(a)^2}{2}$

Y recordemos que la integral estaba siendo multiplicada por 2, entonces quedaria así:

$2(\frac{f(b)^2}{2}- \frac{f(a)^2}{2})$

Y los 2 se simplifican y quedaria:

$f(b)^2- {f(a)^2}$

Entonces, nos damos cuenta que los dos miembros son iguales:

$f(b)^2 - f(a)^2 = f(b)^2 - f(a)^2$

Por ende, queda demostrado que:

$2\int\limits^b_a {f(x)f'(x)} \, dx = f(b)^2 - f(a)^2$