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Explicación paso a paso:
a) (2x^3 +4x ^2 -18) / (x^4 +3x -6)
Esta expresión es muy compleja en su resultado pero podemos tener algo bien en claro, cuando x tiende a +infinito la función en el denominador crece más rápido que la función en el numerador. Me doy cuenta de eso porque la función en el denominador es de mayor grado. Por lo tanto la expresión que se nos fue dada tenderá a 0 cuando x tienda a +infinito
b) (4x^2 -5x - 18) / (3x -6 )
Nuevamente es una expresión compleja y en este caso el numerador es de grado mayor al denominador así que en este caso cuando x tienda a +infinito el numerador crecerá mas rápido que el denominador, entonces la expresión tenderá a +infinito
c) (3x^2 + 2x) / (2x^2)
Nuevamente es una expresión compleja y en este caso de igual grado por lo que no se sabe cual de las dos tiene valores mas altos cuando x tiende a +infinito, por lo que sería adecuado hacer la función más simple:
(3x^2 + 2x) / (2x^2)
2x * ( 3/2x+ 1 ) / 2x^2
( 3/2x+ 1 ) / x
(3/2x / x ) + 1/x
3/2 + 1/x
Por la última expresión nos damos cuenta que cuando x tiende a infinito, el término 1/x se hace 0 , por lo tanto cuando x tiende a +infinito la expresión tiende a 3/2
e) Esta también es una expresión compleja y no sabemos facilmente si el numerador o el denominador aumenta más rápido cuando x tiende a + infinito, por lo tanto tenemos que simplificar la expresión:
[ √(x^2 + 1 ) ] / x
√ { [ √(x^2 + 1 ) ] / x }^2
√ { (x^2 + 1 ) / x^2}
Ahora podremos analisar si la expresión { (x^2 + 1 ) / x^2} tiende a algún valor particular:
(x^2 + 1 ) / x^2
x^2 / x^2 + 1 /x^2
1 + (1/x^2 )
cuando x tiende a infinito 1/x^2 se hace 0 , por lo tanto
para x tendiendo a infinito, [ √(x^2 + 1 ) ] / x = √ { (x^2 + 1 ) / x^2} = 1
g) Ahora piden el valor de la expresión para x tendiendo a -2. Probemos inicialmente con reemplazar para chequear si la función está definida para ese valor:
(x^4 - x^3) / (2*x^2 +8)
[ (-2)^4 - (-2)^3 ] / (2*(-2)^2 +8)
[16 - (-8) ] / (8+8)
(16+8) / (16)
24 / 16 = 6/4 = 3/2
Como la función tiende a un valor definido cuando x tiende a -2 no es necesario hacer simplificaciones a la función.
h) No se ve bien a que valor tiende x pero la función es compleja y quizás haya que simplificarla
[x^3 + 5x^2 +8x + 4] / ( x^2 +4x +4)
Una opción, y la mas sencilla en procedimiento, es hacer la división de la expresión:
[x^3 + 5x^2 +8x + 4] / ( x^2 +4x +4)
- | x + 1
x^3 + 4x^2 + 4x
--------------------------------
0x^3 + x^2 +4x + 4
-
x^2 + 4x +4
---------------------------
0 x^2 + 0x +0
El resultado de hacer la división de la expresión pedida es
[x^3 + 5x^2 +8x + 4] / ( x^2 +4x +4) = x + 1
por lo tanto la función está definida cuando x tienda a un valor real.
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