Question

Ejercicios # 8

Desarrollar las inecuaciones cuadráticas que están en la imagen.

Unas se resuelven con formula general y otras con factorización:

Colocar la propiedad que se utiliza para el desarrollo de cada una, realizar el procedimiento y como respuesta colocar la notación de intervalo, conjunto de notación y la respectiva gráfica (en la recta númerica).

Answer 1

e. 2x² - x < 6

Pasar el 6 al otro lado de la inecuacion pero con signo contrario:

2x² - x - 6 < 0

La variable elevada al cuadrado tiene que estar sola, para ello dividimos todos los términos entre 2.

2x²/2 - x/2 - 6/2 < 0

x² - 1x/2 - 3 < 0

1. Factorizar

Dos números que multiplicados den -3, y que sumados o restados den -1/2

(x - 2)(x + 1.5) < 0

2. Encontrar puntos críticos:

Para hallar los puntos críticos siempre debemos igualar a 0 los temimos que están dentro de los paréntesis.

x - 2 = 0

x + 1.5 = 0

Despejar ''x''

El 2 que está restando pasa al otro lado de la ecuación pero con signo contrario.

x = 2

El 1.5 que está sumando pasa al otro lado de la ecuación pero con signo contrario.

x = -1.5

3. Graficar.

(x - 2) < 0 Si remplazamos ''x'' por todos lo números mayores a 2, el resultado de la inecuacion será positivo. Pero si remplazamos ''x'' por un numero menor a 2, el resultado de la inecuacion sera negativo, por eso el signo negativo antes del 2 y signos positivos después del 2.

(x + 1.5) < 0 Igual con el numero 1.5.

(x - 2) < 0     |------------_-------|-----_-------2-----+----|

(x + 1.5) < 0     |---------_----_1.5---+------|--------+----|

(x - 2)(x + 1.5) < 0 |     +                -                +  

Multiplicamos signos en forma vertical

- * - = +

- * + = -

+ * + = +

x² - 1x/2 - 3 < 0

Todos los números menores a 0, son números negativos, entonces debemos fijarnos en las 3 rectas de arriba, y observamos que la inecuacion  (x² - 1x/2 - 3 < 0) se cumple cuando x es menor que 2, y cuando x es mayor que -1.5.

Intervalo = (-1.5, 2)

A = {x / -1.5<x<2}

f. x² - 4 < 0

Pasar el 4 al otro lado de la inecuacion pero con signo contrario:

x² < 4

Despejar 'x', para ello secaremos raíz cuadrada a ambas partes de la inecuacion. Recuerda que al sacar raiz cuadrada a un numero, esté tendrá dos signos, uno positivo y uno negativo.

√x² < √4

x < 2

x < -2

Graficar.

x < 2     |------------_-------|-----_-------2-------+----|

x < -2    |---------_--------_2-----+------|--------+----|

x² - 4 < 0|        +                     -                +  

Multiplicamos signos en forma vertical

- * - = +

- * + = -

+ * + = +

x² - 4 < 0

Todos los números menores a 0, son números negativos, entonces debemos fijarnos en las 3 rectas de arriba, y observamos que la inecuacion  (x² - 4 < 0) se cumple cuando x es menor que 2, y cuando x es mayor que -2.

Intervalo = (-2,2)

A = {x / -2<x<2}

g. 9 + 6x + x² ≥ 0 ----> x² + 6x + 9 ≥ 0

1. Factorizar

Dos números que multiplicados den +9, y que sumados o restados den +6

(x + 3)(x + 3) < 0

2. Encontrar puntos críticos:

x + 3 = 0

x + 3 = 0

Despejar ''x''

x = -3

x = --3

3. Graficar.

(x + 3) ≥ 0 Si remplazamos ''x'' por todos lo números mayores a -3, el resultado de la inecuacion será negativo. Pero si remplazamos ''x'' por un numero menor a -3, el resultado de la inecuacion sera positivo, por eso el signo negativo antes del -3 y signos positivos después del -3.

(x + 3) < 0 Igual con el numero 3.

(x +3) ≥ 0     |-----------+-----3-----_---------|

(x + 3) ≥ 0     |-----------+----3------_--------|

(x +3)(x + 3) ≥ 0 |     +                 +  

Multiplicamos signos en forma vertical

+ * + = +

- * - = +

x² + 6x + 9 ≥ 0

Todos los números mayores a 0, son números negativos, entonces debemos fijarnos en las 3 rectas de arriba, y observamos que la inecuacion  (x² + 6x + 9 ≥ 0) se cumple siempre.

Intervalo = (-∞, ∞)

A = {x / x∈R}

h. 3x² - 5x - 2 < 0

La variable elevada al cuadrado tiene que estar sola, para ello, dividimos todos los términos entre 3.

3x²/3 - 5x/3 - 2/3 < 0

x² - 5x/3 - 2/3 < 0

1. Factorizar

Dos números que multiplicados den -2/3, y que sumados o restados den -5/3

(x - 2)(x + 1/3) < 0

2. Encontrar puntos críticos:

Para hallar los puntos críticos siempre debemos igualar a 0 los temimos que están dentro de los paréntesis.

x - 2 = 0

x + 1/3 = 0

Despejar ''x''

x = 2

x =  -1/3

3. Graficar.

(x - 2) < 0 Si remplazamos ''x'' por todos lo números mayores a 2, el resultado de la inecuacion será positivo. Pero si remplazamos ''x'' por un numero menor a 2, el resultado de la inecuacion sera negativo, por eso el signo negativo antes del 2 y signos positivos después del 2.

(x + 1/3) < 0 Igual con el numero 1/3.

(x - 2) < 0     |------------_-------|-----_-------2-----+----|

(x + 1/3) < 0     |---------_----_1/3---+------|--------+----|

(x - 2)(x + 1.5) < 0 |     +                -                +  

Multiplicamos signos en forma vertical

- * - = +

- * + = -

+ * + = +

3x² - 5x - 2 < 0

Todos los números menores a 0, son números negativos, entonces debemos fijarnos en las 3 rectas de arriba, y observamos que la inecuacion  (3x² - 5x - 2 < 0) se cumple cuando x es menor que 2, y cuando x es mayor que -1/3.

Intervalo = (-1/3, 2)

A = {x / -1/3<x<2}