Question

Sean
`1 : (1+ k)x−(1− k)y+3 = 0 y `2 : y = kx, k ∈ R,
familias de rectas.
a) ¿Existirá alguna recta horizontal en la familia de rectas `1?
b) ¿Existirá alguna recta vertical en la familia de rectas `2?
c) ¿Es cierto que, para cada valor que tome k, la respectiva recta de la familia `1 y la respectiva
recta de la familia `2 forman un ángulo de 45°?

Answer 1

En la familia (1) la única recta horizontal es 3-2y=0, en la familia (2) no hay rectas verticales, y a igual valor de 'k', las sendas rectas correspondientes de ambas familias forman siempre un ángulo de 45° entre sí.

Explicación paso a paso:

a) Para que una recta sea horizontal, el coeficiente de la variable 'x' tiene que ser nulo para que el vector director sea paralelo al eje 'x', para la familia (1) tenemos:

(1+k)x-(1-k)y+3=0

1+k=0

k=-1

Y la recta horizontal es:

3-2y=0

b) Para que una recta sea vertical, el coeficiente de la variable 'y' tiene que ser cero, de esta manera el vector director sea paralelo al eje 'y', en la familia (2) tenemos:

y=kx

El coeficiente de 'y' siempre será 1 por lo que no hay rectas verticales en esta familia.

c) Para resolver esto hay que evaluar el ángulo que forman los vectores directores, siendo estos $(d_x,d_y)$ la ecuación de la recta es $-d_y.x+d_x.y+k=0$. Las rectas de la segunda familia se pueden reescribir como kx-y=0. El producto escalar entre los dos vectores directores queda:

$v_1.v_2=(k-1,-k-1).(-1,-k)=1-k-k(-k-1)=1+k^2\\\\v_1.v_2=||v_1||.||v_2||.cos(\theta)=\sqrt{(k-1)^2+(-k-1)^2}\sqrt{1+k^2}.cos(\theta)\\\\v_1.v_2=\sqrt{2k^2+2}\sqrt{1+k^2}.cos(\theta)=\sqrt{2}(1+k^2).cos(\theta)$

Igualando las dos expresiones del producto escalar el ángulo entre los vectores queda:

$\theta=cos^{-1}(\frac{v_1.v_2}{||v_1||.||v_2||})=cos^{-1}(\frac{1+k^2}{\sqrt{2}(1+k^2)})\\\\\theta=cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})=45\°$

Queda demostrado que para cada valor de k, las correspondientes rectas de cada familia forman un ángulo de 45° entre sí.