Vectores 3
1) Graficar en el plano cartesiano tres vectores que cumplan con ( −4 2 ) , informá para cada vector, origen y el extremo con la nomenclatura correspondiente.
2) El vector WF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 2 0.5 ) tiene origen en (2;-6). Determine F
3) El vector AB⃗⃗⃗⃗⃗ = ( −3 −4 ) tiene extremo en (0; 3).Cuál es el punto A?
4) Graficar ⃗OD⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 2,8 0 ) indicar origen y extremo del mismo.
Ayuda gente, alguno me sabe decir como se empieza este ejercicio?.
Gracias.
Respuestas
Respuesta:
Explicación:
eje
x
(eje de abscisas, en rojo)
eje
y
(eje de ordenadas, en verde)
eje
z
(eje de cotas, en azul)
los cuales se cortan en el punto O (origen de coordenadas).
Ejes cartesianos en R3
En el siguiente esquema se ven los tres planos que quedan determinados:
el plano
x
y
(en azul)
el plano
x
z
( en verde)
el plano
y
z
(en rojo)
Planos coordenados en R3
Estos planos se conocen como planos coordenados. El nombre del plano
x
y
viene de que este plano contiene al eje
x
y al eje
y
. En forma análoga se derivan los nombres de los otros dos planos.
Se puede demostrar que hay dos formas diferentes de armar un sistema de referencia con tres ejes perpendiculares. Una de esas formas se conoce con el nombre de terna derecha (que es la que usaremos en esta materia y la que hemos presentado recién) y la otra como terna izquierda:
Ternas en R3
Vectores en
R
3
Queda establecido un sistema de coordenadas donde todo punto de
R
3
se define mediante una terna ordenada de números reales:
P
(
x
,
y
,
z
)
, y tiene asociado un vector posición
⃗
p
=
−−→
O
P
=
(
x
,
y
,
z
)
.
Para dar un ejemplo en el siguiente esquema graficamos al punto
P
(
2
,
4
,
3
)
, y su vector posición
⃗
p
=
−−→
O
P
:
Hemos tomado la misma escala sobre cada uno de los ejes. Pero, como en
R
2
, es posible tomar una escala diferente para cada eje.
En el siguiente GIF les mostramos cómo podría hacerse la gráfica del punto paso a paso:
Graficar un punto en R3
Operaciones y nociones básicas sobre vectores en
R
3
Sean
⃗
v
=
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
y
⃗
w
=
(
w
x
,
w
y
,
w
z
)
vectores de
R
3
.
A continuación definimos algunas operaciones y nociones básicas:
Igualdad:
⃗
v
=
⃗
w
⇔
v
x
=
w
x
,
v
y
=
w
y
,
v
z
=
w
z
Suma:
⃗
v
+
⃗
w
=
(
v
x
+
w
x
,
v
y
+
w
y
,
v
z
+
w
z
)
Vector nulo:
⃗
0
=
(
0
,
0
,
0
)
Opuesto de
⃗
v
:
–
⃗
v
=
(
–
v
x
,
–
v
y
,
–
v
z
)
Resta:
⃗
v
–
⃗
w
=
⃗
v
+
(
–
⃗
w
)
=
(
v
x
–
w
x
,
v
y
–
w
y
,
v
z
–
w
z
)
El producto de un escalar por un vector se define:
⃗
v
=
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
,
k
∈
R
,
k
.
⃗
v
=
(
k
.
v
x
,
k
.
v
y
,
k
.
v
z
)
k
.
⃗
v
es un vector tal que:
Tiene igual dirección que el vector
⃗
v
Sentido: Si
k
>
0
entonces
⃗
v
y
k
.
⃗
v
tienen el mismo sentido, si
k
<
0
entonces
⃗
v
y
k
.
⃗
v
tienen sentido opuesto. Si
k
=
0
, entonces
0.
⃗
v
=
⃗
0
.
k
.
⃗
v
=
|
k
|
⃗
v
. El módulo del vector
k
.
⃗
v
es
|
k
|
veces el módulo del vector
⃗
v
.
¿Cómo es la longitud del vector
k
.
⃗
v
respecto de la de
⃗
v
?
Si
|
k
|
>
1
entonces
∥
k
.
⃗
v
∥
>
∥
⃗
v
∥
Si
|
k
|
<
1
entonces
∥
k
.
⃗
v
∥
<
∥
⃗
v
∥
Si
|
k
|
=
1
entonces
∥
k
.
⃗
v
∥
=
∥
⃗
v
∥
Notación
∥
⃗
v
∥
: módulo o norma de un vector
|
k
|
:
módulo o valor absoluto de un número real
La definición de producto de un escalar por un vector permite enunciar una condición para que dos vectores (no nulos) sean paralelos:
⃗
v
∥
⃗
w
⇔
⃗
v
=
k
.
⃗
w
c
o
n
k
∈
R
Ejemplo 1
Dados
⃗
u
=
(
1
,
–
1
,
1
)
,
⃗
v
=
(
2
,
0
,
2
)
y
→
w
=
(
–
1
,
3
,
–
1
)
, ¿Existen
α
,
β
∈
R
tales que
⃗
w
=
α
.
⃗
u
+
β
.
⃗
v
?
Para responderlo escribiremos la igualdad y trataremos de calcular
α
, y
β
:
(
–
1
,
3
,
–
1
)
=
α
.
(
1
,
–
1
,
1
)
+
β
.
(
2
,
0
,
2
)
(
–
1
,
3
,
–
1
)
=
(
α
+
2
β
,
–
α
,
α
+
2
β
)
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
–
1
=
α
+
2
β
3
=
–
α
–
1
=
α
+
2
β
⇒
α
=
–
3
∧
β
=
1
(
–
1
,
3
,
–
1
)
=
–
3.
(
1
,
–
1
,
1
)
+
1.
(
2
,
0
,
2
)
Como existen
α
,
β
∈
R
tales que
⃗
w
=
α
.
⃗
u
+
β
.
⃗
v
, diremos que
⃗
w
es combinación lineal de
⃗
u
y
⃗
v
. Más adelante desarrollaremos el concepto de combinación lineal.
Podemos visualizar esto en un gráfico:
Pero esto puede llevarnos a la pregunta:
Dados tres vectores
⃗
u
,
→
v
,
→
w
de
R
3
, ¿es siempre posible encontrar los números reales
α
y
β
tales que
⃗
w
=
α
.
⃗
u
+
β
.
⃗
v
?
Veamos otro ejemplo para responderla.
Ejemplo
Si los vectores fueran:
⃗
u
=
(
2
,
–
3
,
4
)
⃗
v
=
(
–
5
,
1
,
0
)
⃗
w
=
(
4
,
2
,
1
)
Veamos si existen
α
,
β
∈
R
tal que
⃗
w
=
α
.
⃗
u
+
β
.
⃗
v
:
(
4
,
2
,
1
)
=
α
(
2
,
–
3
,
4
)
+
β
.
(
–
5
,
1
,
0
)
(
4
,
2
,
1
)
=
(
2
α
,
–
3
α
,
4
α
)
+
(
–
5
β
,
1
β
,
0
)
(
4
,
2
,
1
)
=
(
2
α
–
5
β
,
–
3
α
+
1
β
,
4
α
)
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2
α
–
5
β
=
4
–
3
α
+
β
=
2
4
α
=
1
Es un sistema con tres ecuaciones y dos incógnitas. Podemos despejar
α
y
β
a partir de dos de las ecuaciones (por ejemplo las dos últimas):
α
=
1
4
β
=
11
4
Pero luego debemos verificar si estos valores satisfacen primera ecuación.
Reemplazamos en:
2
α
–
5
β
=
4
:
2
4
–
55
4
≠
4
No se verifica la ecuación, por lo tanto no existen los escalares
α
y
β
que satisfagan la igualdad. En otras palabras, diremos que
⃗
w
no es una combinación lineal de
⃗
u
y de
⃗
v
.
Como puede observarse en la imagen, los tres vectores no están contenidos en un mismo plano (no son coplanares), entonces ninguno de ellos puede obtenerse como combinación lineal de los otros dos:
