Question

Ejercicios # 6

Desarrollar las inecuaciones que están en la imagen.


Colocar la propiedad que se utiliza para el desarrollo de cada una, realizar el procedimiento y como respuesta colocar la notación de intervalo, conjunto de notación y la respectiva gráfica (en la recta númerica).

Answer 1

Explicación:

(x-2)²≤x²+1

aplicando la propiedad del binomio cuadrado perfecto

enuncia : (a-b)²=a²-2ab+b²

luego :

x²-2.(2.x)+2²≤x²+1

x²-4x+4≤x²+1

pasamos a restar x² al otro miembro

x²-x²+4-1≤4x

0+3≤4x

    3/4≤ x

por lo tanto x ∈ [3/4 , +∞ > ; esta es la notación tradicional es decir cuando veamos "≤ o≥ " siempre tomara el numero por el echo que esta guioncito de abajo pero si esta "< o >" allí no lo tomara

$x^{2} + \cfrac{3}{2}x>x(x-2)-3$

por propiedad distributiva

x(x-2) = x(x)-2(x)

x(x-2) = x²-2x

como hay x² en ambos lados " se elimina"

$x^{2} -x^{2} + \cfrac{3x}{2}>-2x-3$

$\cfrac{3x}{2}> -2x-3$

pasa el 2 a multiplicar

$3x>-4x-6$

el -4x pasa al otro lado con signo cambiado

$3x+4x>-6$

sumando

$7x>-6$

el 7 pasa dividiendo

$x> \cfrac{-6}{7}$

esto quiere decir que x ∈ <-6/7 , +∞>

(x-2)²<x(x-4) +8

por el binomio cuadrado y la propiedad distributiva

x²-4x+4<x²-4x+8

-4x+4<-4x+8

se elimina (-4x)

     4<8

sacando le cuarta a todo

     1<2   y esto es Verdadero

por lo tanto x ∈ R (reales)

obs: cuando tengamos problemas así , cuando el valor numérico desaparece y solo me quedan numero solamente habrá dos respuestas

si dicha inecuación es "Verdadera" entonces el "x" tomara cualquier valor real es decir su solución sera los R pero si la inecuación no cumple su solución seria el vació ( { } )

(x-2)²<(x-4)(x+4)

recordar: diferencia de cuadrados

son de la forma : a²-b² =(a-b)(a+b)

(x-2)²<x²-16

por el binomio cuadrado

x²-4x+4<x²-16

se elimina "x²"

-4x+4<-16

pasa el- 16 al otro lado con signo cambiado

16+4 <4x

  20 < 4x

pasando a dividir 4

    20/4 <x

    5 <x

por lo tanto x ∈ <5,+∞>

nota :

si tenemos una inecuacion de la forma

x<a su solucion sera <-∞,a>

x>a su solucion sera <a,+∞>

espero haberte ayudado

Saludos