el producto escalar entre dos vectores da como resultado?
a.otro vector
b.un número Real
c.un punto con componentes
d.un ángulo entre dos vectores
Respuestas
Respuesta:
El producto escalar de dos vectores es una operación que toma dos vectores y produce un número real:
\displaystyle k = \vec{u} \cdot \vec{v}
Observemos que el producto escalar se suele denotar por medio de un punto \vec{u} \cdot \vec{v}. Otra notación que se suele utilizar es \displaystyle \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle. Sin embargo, en Superprof siempre denotaremos el producto escalar utilizando un punto.
Además, el producto escalar no debe confundirse con la multiplicación de un vector por un escalar.
Maneras de calcular el producto escalar
Existen dos maneras equivalentes de obtener el producto escalar de dos vectores \vec{u} y \vec{v}. Estas se describen a continuación:
1 Si conocemos el módulo de de ambos vectores y el ángulo \alpha que forman entre ellos, entonces el producto escalar se obtiene mediante
\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \cos \alpha
2 Si conocemos los componentes de los vectores \vec{u} = (u_1, u_2) y \vec{v} = (v_1, v_2), entonces el producto escalar está dado por
\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2
Ejemplos
1 Consideremos los vectores \vec{u} = (3, 0) y \vec{v} = (5, 5). Asimismo, el ángulo entre los vectores es \alpha = 45^{\circ}.
Para calcular el producto escalar, primero debemos encontrar el módulo de \vec{u} y \vec{v}:
\displaystyle \left| \vec{u} \right| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3, \qquad \left| \vec{v} \right| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
De este modo, el producto escalar está dado por
\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \cos\left( 45^{\circ} \right) = 15\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 15
2 Repetiremos el ejemplo anterior con \vec{u} = (3, 0) y \vec{v} = (5, 5). Sin embargo, ahora utilizaremos la otra fórmula:
\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 5 + 0 \cdot 5 = 15
Notemos que el resultado fue el mismo sin importar la fórmula que utilizáramos.
Explicación paso a paso: