Un ingeniero planea la construcción de un baño público en una plaza del pueblo de tal forma que el punto C de las aguas residuales del baño se encuentran en el centro de la circunferencia cuya ecuación es x2 + y2-16x+14y+109=0. Si el punto C debe estar conectado al punto P (x,y) de una tubería que pasa por los puntos A (2,6) y B (-4,-6). Cuáles deben ser las coordenadas de P para que la distancia entre C y la tubería AB sea mínima?
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Sea una circunferencia de ecuación
(x - a)^2 + (y-b)^2 = r^2
Donde los puntos (a ; b) sean el centro de la circunferencia y r el radio de la misma se puede reordenar la ecuación de la siguiente manera:
x2 + y2-16x+14y+109=0
x^2 -16x + y^2 + 14y = -109
x^2 -16x +64 -64 + y^2 + 14y +49 -49 = -109
(x-8)^2 -64 + (y+7)^2 -49 = -109
(x-8)^2 + (y+7)^2 - 49 -64 = -109
(x-8)^2 + (y+7)^2 - 115 = -109
(x-8)^2 + (y+7)^2 = -109 +115
(x-8)^2 + (y+7)^2 = 6
(x-8)^2 + (y+7)^2 = (√6)^2
Es decir que C es el punto (8 ; -7)
Asumiendo que la tubería que pasa por los puntos AB sea una linea recta, la ecuación de la misma sería:
y=ax+b
6 = a*2+b
-6 = a*-4+b
-------------------------
0 = -2a+2b
Por lo tanto: a=b
6 = a*2+b = b*2+b = 3b
b = 2 ----> a = 2
La ecuación de la recta es:
y = 2x+2
La distancia entre P(x;y) y C
C-P(x;y) = √ [ (Xc-Xp)^2 + (Yc-Yp)^2 ] = √ [ (8-x)^2 + ( -7- { 2x+2} )^2 ]
= √ [ (8-Xp)^2 + ( -7 - 2x -2 )^2 ] = √ [ (8-X)^2 + (- 2x -9 )^2 ]
Para que la distancia de esta sea mínima se tiene que el valor de de C-P(x;y) sea mínima se tiene que dar que f(x) = (8-X)^2 + (- 2x -9 )^2 sea mínima. Para hallar este valor de forma analítica se tiene que calcular su derivada y hallar su valor = 0 y ver para que lado el valor es negativo
f(x) = (8-X)^2 + (- 2x -9 )^2
f(x) = x^2 - 16x +64 +4x^2 +36x + 81
f(x) = 5x^2 +20x + 145
df(x)/dx = 10x +20
Para el punto df(x)/dx = 0 es
0 = 10x +20
x = -20/10 = -2
Para valores menores a -2 la df(x)/dx es menor a 0 y para valores mayores a este es mayor a 0, esto implica que la función f(x) tiene un valor mínimo a x= -2 , es decir que el punto más cercano a C es en x= -2. Para x= -2 el valor en y de la recta será:
y= 2x+2
y(2)= 2*-2+2 = -2
Por lo tanto el punto P(x;y) será ( -2 ; -2)
Espero que no me haya excedido en mi explicación. Cualquier duda pregunta.
