Question

La densidad promedio del planeta Urano es 1.27 × 103 kg m3 ⁄ La razón de la masa de Neptuno a la de
Urano es 1.19. la razón del radio de Neptuno al de Urano es 0.969. Encuentre la densidad promedio de
Neptuno en kg cm3

Answer 1

Vamos a plantear cada parte:

$\clubsuit$ La densidad promedio del planeta Urano es:

$\boxed{\rho_{Ur}=1.27\times 10^{3}\:\dfrac{kg}{m^{3}}}$

$\spadesuit$ La razón de la masa de Neptuno a la de  Urano es 1.19:

$\boxed{\dfrac{m_{Nep} }{m_{Ur} }=1.19 }$

$\blacklozenge$ La razón del radio de Neptuno al de Urano es 0.969:

$\boxed{\frac{r_{Nep} }{r_{Ur} }=0.969 }$

Vamos a plantear la densidad de Neptuno:

$\rho_{Nep}=\dfrac{m_{Nep} }{V_{Nep} }$

Usemos $\spadesuit$, despejas la masa de Neptuno, quedando:

$m_{Nep}=1.19\:m_{Ur}$

Hacemos lo mismo con $\blacklozenge$:

$r_{Nep}=0.969\:r_{Ur}$

Vamos a considerar que los planetas son completamente esféricos, por lo que el volumen se obtiene de una esfera, lo cual es:

$V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$

La densidad de Neptuno se puede poner de la siguiente manera:

$\rho_{Nep}=\dfrac{m_{Nep} }{\frac{4}{3}\pi r^{3}_{Nep} }$

Ahora, sustituyes las expresiones que obtuvimos:

$\rho_{Nep}=\dfrac{1.19\:m_{Ur} }{\frac{4}{3}\pi (0.969\:r_{Ur} )^{3} }$

Me quiero centrar en el Denominador:

$\frac{4}{3}\pi (0.969\:r_{Ur} )^{3}$

Sólo vamos a desarrollar el cubo, no multiplicaremos por $\pi$ y lo demás, la razón es que podemos emplear de mejor manera la fórmula, entonces:

$\dfrac{4}{3}\pi (0.9098\:r^{3} _{Ur} )\to 0.9098(\underbrace{\dfrac{4}{3} \pi r^{3} _{Ur})}_{\texttt{Volumen}} \\ \Rightarrow 0.9098\:V_{Ur}$

Bien, ahora lo reincorporamos:

$\rho_{Nep}=\dfrac{1.19\:m_{Ur} }{0.9098\:V_{Ur} }\to \rho_{Nep}=\dfrac{1.19}{0.9098}\times \underbrace{\dfrac{m_{Ur} }{V_{Ur} }}_{\rho_{Ur} }$

Nos damos cuenta que podemos podemos aprovechar la densidad de Urano, por lo que tendremos que:

$\boldsymbol{\rho_{Nep}= 1.308\:\rho_{Ur}}\\ \rho_{Nep}=1.308(1.27\times 10^{3}\:\dfrac{kg}{m^{3} } )\\ \boxed{\boxed{\bf{\rho_{Nep}=1.66\times 10^{3}\:\dfrac{kg}{m^{3} } }}}$

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