Asignatura: Matemáticas
Autor: yexs
hace 8 años

Hola una ayuda en ésta por favro gracias a todos:
Realiza la experiencia de como sería el nivel de contagio del covid19 si el R=4 es decir cada persona infectada va a contagiar a 4 . Cuantas personas se podria contagiar en el dia 6,8,14, compara tus resultados obtenidos cuando R=2

Respuestas

Respuesta dada por: preju

Progresiones exponenciales

En este ejercicio estamos ante una progresión exponencial que es una progresión geométrica muy particular ya que lo que ocurre en este tipo de progresiones es que el número inicial se va multiplicando por él mismo para conseguir los términos siguientes de dicha progresión.

Así tenemos que las primeras 4 personas contagiadas serían el valor del primer término que llamamos a₁ y para obtener el valor del segundo término solo hemos de multiplicar esa primer valor por 4 que es el nº de personas que contagiarán cada una de las cuatro primeras, ok? Ese número de personas que se contagian es la razón "r" de la progresión.

Por tanto el valor del segundo término será: a₂ = 4×4 = 4² = 16 personas contagiadas el segundo día.

Acudiendo a la expresión del término general de las progresiones aritméticas dice esto: $a_n=a_1*r^{n-1}$

Según esa fórmula, conocemos los siguientes datos:

Primer término ... a₁ = 4
Razón de la progresión ... r = 4
Número de términos ... depende de los días que nos pidan que han de pasar. Yo tomaré el día 6 que es el primero que nos piden así que n=6

Sustituyo valores: $a_6=4*4^{6-1}\ =\ 4*4^5\ =\ 4^6=\ 4096$

Y eso me dice que el día 6 se habrán contagiado 4.096 personas.

Para saber las personas contagiadas el día 8 hay que operar del mismo modo sustituyendo "n" por 8 en la fórmula general y nos dará el número buscado.

Para cuando R=2, significa que partimos de 2 personas contagiadas y cada una de ellas contagiará a otras dos así que ahora el primer término de la progresión sería 2 y la razón también sería 2.

Si volvemos a mirar las contagiadas el día 6 con esa nueva razón, luego lo compararemos.

$a_6=2*2^{6-1}\ =\ 2*2^5\ =\ 2^6=\ 64$

Se aprecia una gran diferencia si variamos la razón R pues puede verse que en este caso, en 6 días solo se han contagiado 64 personas frente a las 4.096 contagiadas si la razón es 4.

La fórmula general para este tipo de progresiones es muy simple:

aₙ = (a₁)ⁿ

Así es como podemos sustituir "n" por el nº de días que hayan transcurrido y en el cual queremos saber los contagiados:

Para R=4 y a₁=4 ...

Día 8 ... a₈ = 4⁸ = 65.536 personas contagiadas
Día 14 ... a₁₄ = 4¹⁴ = 268.435.456 personas contagiadas

Para R=2 y a₁=2 ...

Día 8 ... a₈ = 2⁸ = 256 personas contagiadas
Día 14 ... a₁₄ = 2¹⁴ = 16.384 personas contagiadas

La diferencia es muy notable.

Saludos.

Arianaallerena15: graciaaaas :)

preju: De nada

yexs: hola quetal gracias por resolver, sólo queria decirlo, arriba resuelves con formula a_n=a1.r^(n-1), pero abajo cuando veo lo resuelves según usted con formula general, an=a1^(n), lo cual no seria la fórmula general de P.G, espero que me aclare ahi, gracias.

preju: Es la misma fórmula general pero adaptada al caso particular de la función exponencial, es decir, cuando el valor del primer término y la razón son iguales. Cuando ocurre eso, la fórmula general se convierte en esa otra fórmula que remarco en negrita.

yexs: ok gracias

preju: De nada

preju: Como no me gusta que eso quede como una norma no demostrada, te digo de dónde sale, mira:

preju: aₙ = a₁ · r⁽ⁿ⁻¹⁾ ... si a₁ = r ... entonces ... aₙ = a₁¹ · a₁⁽ⁿ⁻¹⁾ = a₁⁽¹⁺ⁿ⁻¹⁾ = (a₁)ⁿ

preju: Es aplicar una regla de la potenciación: producto de potencias con misma base, se suman exponentes.

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