calcula el numero de terminos y la razon de una P.G respectivamente cuyo primer termino es 7 , el ultimo es 567 y la suma de todos los terminos es 847.
a) 2y5 b) 5 y 3 e) 3 y 6
d) 4y10 c) 6 y 9
Respuestas
Respuesta:
Espero Y Te Sirva
Explicación paso a paso:
Esto que acabo de poner es un ejemplo de progresión geométrica.
¿No te fías de mí?
¿Que cómo sabes si es una progresión geométrica?
Quizás tendría que haber empezado explicando qué es una progresión geométrica.
No es otra cosa que una sucesión en la que cada término (excepto el primero) se obtiene multiplicando el anterior por un número o cantidad fija que llamamos razón.
Que lo de antes es una sucesión parece claro (o al menos de números), porque son números dispuestos uno a continuación de otro, pero vamos a ver si se cumple eso de que cada término se obtiene multiplicando el anterior siempre por el mismo número (la razón)…
Pues sí, cada término lo obtenemos multiplicando el que va justo antes por 2, y ocurre siempre. Luego efectivamente es una progresión geométrica y además de razón 2.
Antes de seguir contándote más cosas (esto es solo el comienzo) voy a hacer algo que nos gusta mucho en matemáticas y que es expresar todo esto «con letras».
¡Ya estamos con las letras!
Créeme que nos va a ser útil, porque así las conclusiones que saquemos nos valdrán para cualquier caso de forma general, y no solo para uno en particular. Los términos de la progresión los vamos a identificar con una a con un subíndice que indica la posición del término en la progresión. Así a1 será el primer término de la progresión, a2 el segundo, a3 el tercero… a20 el término de la progresión que ocupa la posición 20…
Si es una progresión geométrica hemos dicho que cada término (excepto el primero, a1) se obtiene multiplicando el anterior por la razón, que vamos a designar con la letra r. Es decir…
a2 = a1 · r
a3 = a2 · r
a4 = a3 · r
an = an-1 · r
O, lo que es equivalente:
Y esto que acabamos de deducir es una de las formas (no es la única) que tenemos de calcular la razón en una progresión geométrica:
Cuando conocemos dos términos consecutivos de una progresión geométrica podemos calcular la razón de la progresión dividiendo un término de la misma por el inmediato anterior.
Volviendo a la progresión geométrica con la que empezamos…
efectivamente se cumple que:
Bueno, ya tenemos claro que multiplicando a partir del primer término (a1) sucesivamente por la razón (r) se van obteniendo los términos de la progresión geométrica…
Pues sabiendo esto podemos, por ejemplo, calcular el quinto término (a5) a partir del segundo (a2) directamente sin tener que calcular previamente a3 ni a4, ya que al avanzar 3 posiciones (5 – 2 = 3) lo que hacemos es multiplicar tres veces por la razón (r · r · r = r3)…
O, por ejemplo, calcular el octavo término (a8) a partir del tercero (a3), ya que como avanzamos 5 posiciones (8 – 3 = 5) multiplicamos cinco veces por la razón (r · r · r · r · r = r5)…
Y esto que acabamos de deducir es realmente útil a la hora de trabajar con progresiones geométricas, porque nos permite calcular un término cualquiera de la progresión a partir de otro conociendo la razón (r), sin necesidad de que sean consecutivos.
Si llamamos ap a un término genérico que ocupe la posición p y aq a un término que ocupe la posición q, siendo p<q (el término ap aparece antes en la progresión que el término aq)…
ambos términos se relacionan a través de la razón (r) de la forma:
Es lo mismo que hemos visto en los dos ejemplos anteriores pero generalizando.
Pero lo que es mejor aún es que esta expresión nos permite calcular la razón (r) conociendo dos términos cualesquiera de una progresión geométrica (ap y aq), ya que si sustituimos ap y aq por sus valores, y p y q por sus posiciones correspondientes, tenemos una ecuación en la que la única incógnita es r (la razón).
Por ejemplo, si a2 = 2 y a7 = 64…
Y todo esto que acabamos de ver lo podemos utilizar para definir la expresión del término general de una progresión geométrica (an), que nos permite calcular cualquier término de la misma:
Si te fijas he utilizado como término de partida el primer término (a1), aunque podría haber empleado cualquier otro, pero se suele hacer así ya que es el único término de la progresión geométrica que viene fijado de inicio y no se obtiene a partir de ninguno anterior.
Volviendo la progresión…
en la que hemos visto que r = 2 y a1 = 1, el término general de la misma será:
y, como he comentado antes, con esta expresión podemos calcular ahora el término de nuestra progresión geométrica que queramos, sustituyendo simplemente n por la posición que ocupa dicho término.
Por ejemplo:
y así los que queramos.
Bien, ya sabemos obtener la razón de una progresión, calcular términos de la misma y obtener la expresión del término general.