Question

Determina los puntos de la gráfica de f(x)= x^4 −5x en los que la recta tangente es paralela a la

bisectriz del segundo cuadrante. Halla las ecuaciones de estas tangentes.

Answer 1

Respuesta:

En el  punto x=1

Explicación paso a paso:

La bisectriz del segundo cuadratante se corresponde a $f(x)=-x$

que tiene pendiente $m=-1$, cualquiera recta palela debe tener pendiente $-1$

por tanto buscamos cuando las derivadas de nuestra función

$f(x)=x^4-5x$   que es $f'(x)=4x^3-5$      vale -1

Resolvemos

$4x^3-5=-1\\4x^3-5+1=0\\4x^3-4=0\\x^3-1=0\\x^3=1\\x=1$

Es decir nuestra función tiene derivada(pendiente) -1 en el punto $x_0=1$,

ADICIONAL

Si quieres averiguar cual es la recta tangente necesitamos conocer cuanto vale la funcion en ese punto

$f(1)=(1)^4-5(1)\\f(1)=1-5\\f(1)=-4$

Pues ya tenenemos todos los datos, sabemos que en el punto (1,-4) la funcion tiene pendiente $m=-1$, por tanto usamos la ecuación punto-pendiente y tenemos que la recta que buscamos es

$r=m(x-x_0)+f(x_0)\\\\r=-1(x-1)-4\\r=-x+1-4\\\\r=-x-3$

Adjunto la grafica