Question

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
1. ¿COMO SERIA LA EXPANSIÓN DEL VIRUS SI EL R0 ES 2 ?
2.¿ CUANTAS PERSONAS SE CONTAGIAN EL DIA 4,8,14?

Answer 1

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS (PG)

El famoso "R0" es la razón de esta progresión, es decir, el número por el que vamos multiplicando al valor del término anterior para saber el valor del término siguiente.

Dado que no nos da ningún valor para el primer término de la PG consideraremos que partimos de 2 personas contagiadas el día 1 y cada una de ellas contagia a otras dos personas con lo que el día 2 tendremos 4 personas contagiadas las cuales contagiarán a 2 personas más cada una de ellas y el día 3 tendremos a 8 personas contagiadas, es decir que se van duplicando los contagios de un día para otro.

Por lo tanto tenemos estos datos:

• Valor del primer término de la PG ... a₁ = 2
• Razón de la PG ... r = 2
• Número de términos de la PG... n = 4, 8, 14  que serán tres casos distintos ya que se refiere al nº de contagiados cuando haya pasado esa cantidad de días.

Cuando COINCIDE el valor del primer término y el valor de la razón, estamos ante una progresión geométrica muy particular que puede llamarse "exponencial" y vemos por qué:

Aplicamos la fórmula general de estas progresiones:  $a_n=a_1*r^{n-1}$

Sustituyo datos para el primer caso que serían contagios el 4º día y para lo cual el término a calcular es el 4º ... a₄

$a_4=2*2^{4-1}=2^1*2^3=2^4=16\ contagiados\ el\ 4\º\ d\'ia$

Lo que comentaba antes sobre el nombre particular que recibe este tipo de progresiones se ve ahí mismo ya que la fórmula general puede resumirse en:  

$a_n=(a_1)^n$

Es decir que para saber el número de contagiados de cualquier día, tomamos el valor de los contagiados del primer día y lo elevamos a un exponente tal que será el nº de días que queremos calcular. De ahí que,  refiriéndose a la rapidez del crecimiento de contagios,  se hable de un crecimiento exponencial.

Lo vemos en los ejercicios restantes:

Para el 8º día será n=8 y se busca el valor del 8º término ... a₈

$a_8=2^8=256\ contagiados\ el\ 8\º\ d\'ia$

Y lo mismo para el 14º día donde n=14:

$a_{14}=2^{14}=16.384\ contagiados\ el\ 14\º\ d\'ia$

Saludos.