Question

hola no me dejen morir ayuda !!! no entiendo y nadie me quiere explicar coloco imagen por que amis garabatos no le vana entender tema matrices ayuda!!!!!1

Answer 1

Respuesta:

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\ 2&-1/2&1\\1&3/4&-1/2\end{array}\right]$

Explicación paso a paso:

Como estamos en el plano $\mathbb{R}^2$, necesitamos unicamente conocer las imagenes de 3 puntos afinmente independientes. Escogo usar los puntos $V_1\,V_2\,V_4$ por ejemplo.

Calculemos la transformación de dichos puntos con los datos de la tabla

$f(V_1)=E_1=V_2-V_1=(-2,1)-(-2,3)=(0,-2)\\f(V_2)=E_2=V_3-V_2=(0,0)-(-2,1)=(2,-1)\\f(V_4)=E_4=V_5-V_4=(2,3)-(2,1)=(0,2)$

Fijamos un punto, por ejemplo $V_1$ y fabricamos el vector $\overrightarrow{V_1V_2}\,\text{y el vector }\, \overrightarrow{V_1V_4}$

De los cuales sabemos la imagen de la aplicacion vectorial asociada

$\vec{f}(\overrightarrow{V_1V_2)}=f(V_2)-f(V_1)=(2,-1)-(0,-2)=(2,1)\\\vec{f}(\overrightarrow{V_1V_4)}=f(V_4)-f(V_1)=(0,2)-(0,-2)=(0,4)$

Ahora los datos que necesitamos son $\overrightarrow{f}(e_1)\hspace{0.25cm}\overrightarrow{f}(e_2)$, es decir las imagenes de la aplicación lineal asociada ala basica canonica $e_1=(1,0)\hspace{0.25cm } e_2=(0,1)$

Primero buscaremos $\overrightarrow{f}(e_1)$ , para ello tenemos que poner  $e_1$ como  una combinación lineal de los vectores que hemos fabricado anteriormente  $\overrightarrow{V_1V_2}\hspace{0.15cm}\overrightarrow{V_1V_4}$, es decir buscamos $x$  $y$ tales que

$x\left[\begin{array}{c}2\\1\\\end{array}\right] +y\left[\begin{array}{c}0\\4\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\0\\\end{array}\right]$

Resolvemos este sistema lineal y obtenemos que

$x=-1/4\hspace{0.25 cm}y=1/4$

Es decir   $e_1=(1,0)=-1/4(2,1)+1/4(0,4)$

Por tanto tenemos que

$\overrightarrow{f}(e_1)=-1/4\overrightarrow{f}({V_1V_2})+1/4\overrightarrow{f}(\overrightarrow{V_1V_4})=-1/4(2,1)+1/4(0,4)=\bold{(-1/2,3/4)}$

Repetimos el mismo procedimiento para $\overrightarrow{f}(e_2)$

$x\left[\begin{array}{c}2\\1\\\end{array}\right] +y\left[\begin{array}{c}0\\4\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\1\\\end{array}\right]$

Resolvemos y tenemos

$x=-1/2\hspace{0.25 cm}y=0$

$\overrightarrow{f}(e_2)=-1/2\overrightarrow{f}({V_1V_2})+0\overrightarrow{f}(\overrightarrow{V_1V_4})=-1/2(2,1)=\bold{(-1,-1/2)}$

Finalmente necesitamos la imagen de $(0,0)$, pero es un datos que nos dan

$f(0,0)=f(V_3)=E_3=V_4-V_3=(2,1)-(0,0=(2,1)$

Por tanto la matriz buscada es

$f(x,y)=\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right] +\left[\begin{array}{cc}-1/2&1\\3/4&-1/2\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]$

Que equivale a

$f(x,y)=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\ 2&-1/2&1\\1&3/4&-1/2\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}1\\x\\y\end{array}\right]$