Question

Una fuerza P arrastra una cadena pesada de masa ρ por unidad de longitud por una superficie horizontal
compuesta de una zona lisa y una zona rugosa. Si al comienzo la cadena descansa sobre una superficie lisa, siendo x = 0 y μc el coeficiente de rozamiento cinético entre la cadena y la superficie rugosa, determinar la velocidad v de la cadena para x = L. Suponga que la cadena permanece tirante y por ello se mueve toda a la vez durante su movimiento . ¿Cuál es valor mínimo de P para que la cadena permanezca tirante?

Answer 1

Veamos.

Estudiamos una posición en que x metros de cadena están sobre la superficie rugosa.

La masa de esos x metros de cadena es ρ x, mientras que la masa total es ρ L

La fuerza de rozamiento de la parte sobre la mesa rugosa vale:

Fr = μc R = μc ρ x g

La fuerza neta sobre la cadena es m.a = ρ L a

La ecuación dinámica del movimiento de la cadena es entonces:

P - μc ρ x g = ρ L a; despejamos a

a = P/(ρ L) - μc g x/L

Como se ve, la aceleración es función de x.

Por otro lado se sabe que la aceleración es la derivada respecto del tiempo

a = dv/dt; hacemos una transformación:

a = dv/dt . dx/dx = dx/dt . dv/dx = v . dv/dx, de modo que.

a dx = v dv (velocidad en función de x) reemplazamos a:

[P / (ρ L) - μc g x / L] dx = v.dv

Se integra respecto de x entre 0 y L y v entre 0 y V

Resulta: V² / 2 = P / ρ - μc g L / 2

Verificamos las unidades: [V]² = m²/s²

El corchete se lee: "unidad de"

[P] = N = kg m/s²; [ρ] = kg/m; [P/ρ] = kg m/s² / (kg/m) = m²/s² (OK)

[g L] = m/s² m = m²/s² (OK)

Finalmente:

V = √[2 P / ρ - μc g L]

Saludos Herminio