Determina la ecuación del plano con vector director u= (1,2,3) y que contiene la recta que pasa por el punto p=(1,1,1) y tiene como vector director v'=(1,1,1)
Respuestas
No se puede construir tal plano
Para poder ver esto, simplemente debemos saber una propiedad muy importante para la construcción de los planos y es la siguiente
El vector normal a un plano es perpendicular a los vectores directores de todas las rectas del plano
Entonces, para asegurarnos que se puede construir el plano, debemos tomar el producto punto entre u y v y observar si es 0
El producto punto de estos vectores se define de la siguiente manera
u = (ux, uy, uz)
v = (vx, vy, vz)
u · v = (ux)×(vx) + (uy)×(vy) + (uz)×(vz)
Por lo que en nuestro caso tendríamos
u = (1, 2, 3)
v = (1, 1, 1)
u · v = 1 × 1 + 2 × 1 × 1 × 3 = 1 + 2 + 3 = 6
Como vemos, los vectores u y v no son perpendiculares, pues este producto no es 0, esto nos indica que la recta dada no pertenece al plano generado por u, lo que contradice las hipótesis de la construcción, es decir, no se puede construir el plano