En una fila del cine se deben sentar 5 papás con sus respectivos hijos, de modo que el hijo esté a la derecha
del papá. ¿De cuántas formas pueden hacerlo? R: 120 formas
En una fila se sientan 6 mujeres y 5 hombres. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar si las mujeres deben
estar juntas y los hombres también?
En una reunión hay 4 oradores (Victoria, Antonia, Rubén y Pablo). Como Pablo es el mejor orador de los
cuatro no quieres estar con eldespués de él. Con esta condición, ¿de cuántas formas se pueden ordenar los
turnos de los oradores?
Respuestas
COMBINATORIA. Ejercicios prácticos
Para el primer ejercicio, tenemos 5 parejas inseparables ya que nos dice que cada papá irá con su respectivo hijo, es decir, no se pueden mezclar los hijos con distintos padres.
Según ello, en realidad no tenemos a 10 personas sino a 5 parejas o elementos a combinar que en este caso concreto a tener que tomar las 5 parejas al mismo tiempo y variarlas entre ellas, lo que hay que usar es el modelo combinatorio de PERMUTACIONES donde tenemos una cantidad de elementos a variar y al realizar la operación los tomamos a todos a la vez.
La fórmula por factoriales para las permutaciones es muy sencilla pues se trata de operar el factorial del número de elementos que permutamos:
P₅ = 5! = 5×4×3×2×1 = 120 formas es la respuesta
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Si las mujeres siempre deben estar juntas y los hombres también, lo que tenemos son dos grupos de personas (6 mujeres forman un grupo y 5 hombres forman el otro grupo). Lo que hacemos en este caso es tomar cada grupo por separado y calcular las permutaciones ya que igual que en el ejercicio anterior tomamos a todos los elementos en una sola vez.
Una vez tengamos calculadas las permutaciones de cada grupo, a cada forma de un grupo corresponderán todas las formas que hayan salido en el otro grupo y eso solo es una simple multiplicación de los dos resultados.
Permutamos a las mujeres:
P₆ = 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720 formas
Permutamos a los hombres:
P₅ = 5! = 5×4×3×2×1 = 120 formas
Multiplicamos:
720 × 120 = 86.400 formas
... pero no hemos acabado porque hay que considerar que este cálculo lo hemos hecho sin pensar en CAMBIAR de lado a los grupos, quiero decir que este cálculo es para cuando las mujeres están a la derecha y los hombres a la izquierda.
Pero es obvio que puede darse la misma situación para cuando las mujeres están a la izquierda y los hombres a la derecha, ok?
Por tanto el resultado obtenido todavía queda multiplicarlo por 2 para saber todas las formas en que pueden ordenarse.
86400 × 2 = 172.800 formas es la respuesta
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Como hay que dejar apartado a Pablo, lo dejamos fijado en la última posición de todas las formas de combinarlos y tomamos a los otros tres para calcular las permutaciones de esos elementos:
P₃ = 3×2×1 = 6 maneras de ordenar los turnos
Saludos.