De cinco vértices consecutivos de un
polígono se puede trazar 15
diagonales más, que de cuatro vértices
consecutivos de otro polígono de dos
lados menos. ¿Cuántos lados tiene el
primer polígono?
Respuestas
Respuesta:
El primer polígono tiene 10 lados, es un decágono.
Explicación paso a paso:
El número de diagonales (D) de un polígono convexo (sea o no regular) viene determinado por el número de lados (n) que tiene el polígono, siendo su fórmula:
D = n·(n-3) / 2
Digamos que el 1er polígono tiene x lados. Aplicando la fórmula, el número total de diagonales (D1) de ese polígono es:
D1 = x·(x-3) / 2
Según el enunciado, sabemos que el 2º polígono tiene x-2 lados. Aplicando la fórmula, el número total de diagonales (D2) de ese polígono es:
D2 = (x-2)·(x-2-3) / 2 = (x-2)·(x-5) / 2
Según el enunciado, también sabemos que D1 (el número de diagonales del 1er polígono) es 15 más que D2 (el número de diagonales del 2º polígono), así pues:
D1 = D2 + 15
Sustituimos los valores antes calculados:
x·(x-3) / 2 = (x-2)·(x-5) / 2 + 15
aplicamos la propiedad distributiva:
(x²-3x) / 2 = (x²-5x-2x+10)/2 +15
eliminamos denominadores multiplicando cada término por 2:
x² - 3x = x² - 5x - 2x + 10 + 30
sumamos términos semejantes y despejamos la incógnita:
-3x + 7x = 40
4x = 40
x = 10
Respuesta:
El primer polígono tiene 10 lados, es un decágono.
Explicación paso a paso:
El número de diagonales (D) de un polígono convexo (sea o no regular) viene determinado por el número de lados (n) que tiene el polígono, siendo su fórmula:
D = n·(n-3) / 2
Digamos que el 1er polígono tiene x lados. Aplicando la fórmula, el número total de diagonales (D1) de ese polígono es:
D1 = x·(x-3) / 2
Según el enunciado, sabemos que el 2º polígono tiene x-2 lados. Aplicando la fórmula, el número total de diagonales (D2) de ese polígono es:
D2 = (x-2)·(x-2-3) / 2 = (x-2)·(x-5) / 2
Según el enunciado, también sabemos que D1 (el número de diagonales del 1er polígono) es 15 más que D2 (el número de diagonales del 2º polígono), así pues:
D1 = D2 + 15
Sustituimos los valores antes calculados:
x·(x-3) / 2 = (x-2)·(x-5) / 2 + 15
aplicamos la propiedad distributiva:
(x²-3x) / 2 = (x²-5x-2x+10)/2 +15
eliminamos denominadores multiplicando cada término por 2:
x² - 3x = x² - 5x - 2x + 10 + 30
sumamos términos semejantes y despejamos la incógnita:
-3x + 7x = 40
4x = 40
x = 10